開頭先摘了個要的

這篇文章先後介紹幾個內容

  • 正交補
  • 射影定理
  • 對偶空間（共軛空間）
  • 表現定理
  • 後續

其中，在對偶空間中，我對這個空間提出了一種理解方式：將泛函視為一種分類方式。然後列出幾個比較形象的例子。藉助種理解，並宏觀地解釋了表現定理的的用處。前面的部分主要以介紹概念為主。

其他涉及證明的部分我均放在引用框內給出，一些步驟用括弧+斜體字給出說明。

先提個概念 正交補

設 M 是Hilbert空間 H 的線性流形，定義 M^ot={yin H:(y,x)=0,forall xin M} 並稱 M^ot 為 M 的正交補。 （x,y） 表示 x 與 y 的內積。

「個人理解，內積在這裡起到了一個這麼樣的作用，就是：像做連連看一樣將『相同』的東西提出來。這個相同取決於這個內積的定義方式（即在向量空間中，某個二元運算 滿足正定性，第一個變數的線性性和Hermite性）。實際上就好像在玩『連連看』一樣，把相同的東西給拿出來，但是與連連看不同的地方就是，通過內積還能得到不完全一樣的兩個向量到底有多少一樣的地方。

對於哪個正交補，就好比把連連看中的所有小方塊全部分開了，分出來的M^ot與M中的小方塊各不『相同』」

根據內積的性質，於是乎便可以得到 M^ot 是 H 的子空間， Mcap M^ot={0}

證明：

forall x,y in M^ot, forall cin mathbf{C} ，對於 zin M ，有 (x,z)=0,(y,z)=0,(alpha x,z)=alpha(x,z) ，由內積定義可得 (x+y,z)=0\ (alpha x,z) =0 所以 x+y, alpha xin M^ot 。 所以為子空間。反設 exists xin Mcap M^ot,x eq0 ，根據正交補性質，有 (x,x)=0 ，顯然矛盾，所以不存在。Q.E.D.

聊聊 射影定理

接下來說個定理——射影定理。

定理 設M是Hilbert空間 H 的子空間，則每個 xin H 都可以唯一地表成 x=y+z,yin M,xin M^ot 這個 x 與 y 被稱為正交射影。

（這個定理實際上就是將向量空間上的點用相互正交的兩個向量來表示。就像在證明平面幾何的問題的時候，如果引入了坐標系，就可以將一個平面上的問題轉化為兩條直線上的問題。相似的，也可以將抽象的函數空間中的點也分割到兩個具有良好性質的兩個空間中。）

就好比在三維空間中，將空間分割成一個平面與一個向量相互垂直的兩個叫「子空間」的袋子中，其中一個袋子里隨意拿一個一定是z軸上的點，另一個袋子拿到的一定是xoy上的點，兩個袋子的點內積恆為零。

證明：

因為 M 也是Hilbert空間，所以也有一個正規正交基 {y_alpha}_{alphain mathscr{A}} 。任給 xin H ，最多有可數個 (x,y_alpha) eq0 。設他們是 {(x,y_{alpha_j})}_{j=1}^infty ，則對 alpha in mathscr{A} ， alpha eq alpha_j ， j=1,2,... ， (x,y_n)=0 .令 y=sumlimits_{j=1}^infty(x,y_{alpha_j})y_{alpha_j}. 上式收斂 (這裡的一些題設，設計了Hilbert空間的性質，我將會在後面的文章進行描述)。因 M 是閉的（至於為什麼是閉的，其實就是要說明該空間賦范完備即可。因為「閉」的含義就是指該空間任意點可被一列點所逼近，正好與完備的含義重合。），故 yin M 。

令 z=x-y ，則對 k=1,2,... ，有 egin{align}(z,y_{alpha_k})&= (x,y_{alpha_k})-(y,y_{alpha_k})\ &=(x,y_{alpha_k})-(sumlimits_{j=1}^{infty}(x,y_{alpha_j})y_{alpha_j},y_{alpha_k})\&=(x,y_{alpha_k})-sumlimits_{j=1}^{infty}(x,y_{alpha_j})(y_{alpha_j},y_{alpha_k})\&=(x,y_{alpha_k})-(x,y_{alpha_k})\&=0end{align} (這裡有些地方可以稍微解釋一下：第一個等號的得來是將 z 用 x-y 表示，並依靠內積第一變數的可加性得到；第二個等號的得來是將上面的 y 帶入；第三個等號的得來有兩個，其一因為收斂，無窮求和可以變序，其二是藉助內積第一變數的線性性；第四個等號的得來是因為 y_{alpha_k} 與 y_{alpha_j} 都是正規正交基的其中一個，當做內積時，只有序號相同才會變1約去，不相同就直接化0消去。這裡就說明了， x 若刨去含在 M 里的可數部分的內容，那麼剩下的就剩 M^{ot} 的部分了。下面在去說明不可數的部分。)

又當 alpha in mathscr{A} ，且 alpha eq alpha_k,k=1,2,..., egin{align}(x,y_alpha) &=(x,y_alpha)-(y,y_alpha)\&=(x,y_alpha)-(sumlimits_{j=1}^{infty}(x,y_{alpha_j})y_{alpha_j},y_alpha)=0end{align} 總之， (z,y_alpha)=0, 當alpha in mathscr{A} 又因為 M 中每個元 u 都可以表成 sumlimits_{alphainmathscr{A}}(u,y_alpha)y_alpha ，可見 (z,u)=0,forall uin M ，即 zin M^ot 。因此， H 中向量的表示 x=y+z,yin M,zin M^ot 成立。對於唯一性，因為 Mcap M^ot={0} ，而且因為有 egin{align}y_1+z_1&=y_2+z_2\y_1-y_2&=z_2-z_1=0end{align} 所以有 y_1=y_2,z_1=z_2 Q.E.D.

淺談 共軛空間/對偶空間

設 H^* 表示Hilbert空間 H 上全體連續線性泛函按逐點定義的線性運算（可加性、齊次性）形成的線性空間。對 fin H^* ，定義其範數 ||f||=suplimits_{||x||leq1}|f(x)|。

在證明這個問題之前，我先談一個對於泛函的一種理解方式。先上圖：

圖1
圖2
圖3

這三張圖分別表示某曲面（圖1）-該曲面等高線（圖2）-值域（圖3）。這便是我想要說的：對於原先的Hilbert空間中的向量來說，就好像放入一個巨型（大到可裝下任意向量）麻袋中。這個泛函呢，就相當於給了他們一種分類方式。那麼這個跟圖又有什麼聯繫呢？因為對於某個特定的 f_0in H^* ，任取一可行的 alpha_0in Im(f_0) ，那麼用 f_0(x)=alpha_0,forall x in H 便可以劃分中一系列的等價類，對於第二個數 alpha_1in Im(f_0) ，同上就可以劃分出來一個第二個等價類......將上述過程綜合起來看待，對於一個特定的值來說，就是給出了一個評判（對於圖3的某個點，在圖2就是某一條曲線，也就是對應圖1中的一個點集），對於一系列的指標，就相當於給出了評判方式（將圖2看做一個圖3原像集合）。於是乎， H^* 便是一堆評判方式的集合(圖2的等高線是一些列與xoy平行的平面所截得的曲線，那麼 H^* 可以看成某個 朝任意平面所平行的一系列平面截曲面的登高線集合的集合)。倘若將指標固定在某個範圍，那麼一系列的評判方式有可能與原空間有著某種聯繫。這個細節就在後面講對偶時談一談了~

順理成章地，可以猜一猜，既然原像 H 是完備的，那麼會不會

H^* 是完備的賦范線性空間。

呢？答案是 肯定的。

（提前說一句，對於證明完備空間，就像把「大象擱冰箱里」的過程一樣，依據定義，找Cauchy列和其特定子列，第二步，證明子列的Telescopic Series屬於該空間，第三步，子列收斂於構造Series的極限，再來個絕對值不等式就OK了~）

證明：任取Cauchy列 {f_n}_{n=1}^inftysubset H^* ，則 forall epsilon>0 ， exists N>0 ， forall n,m>N ， ||f_n-f_m||<frac{epsilon}{2} 。因此，便存在其子列 {f_{n_k}}_{k=1}^inftysubset{f_n}_{n=1}^infty ，且 ||f_{n_k+1}-f_{n_k}||<frac{1}{2^k} 。

下一步，設 egin{align}S&=f_{n_1}+sumlimits_{k=1}^infty(f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}) \ S_m &=f_{n_1}+sumlimits_{k=1}^m(f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}) end{align} 考慮到 egin{align}||S_m||&leq||f_{n_1}||+sumlimits_{k=1}^m||f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}||\ &leq||f_{n_1}||+sumlimits_{k=1}^mfrac{1}{2^k}<||f_{n_1}||+1end{align} forall m>N\\ 所以 S 有界。因為對於線性泛函來講，有界 Leftrightarrow連續 Leftrightarrow 逐點連續，所以 Sin H^* 。下面考慮子列是否能收斂到的問題。考慮 forall m>N egin{align}||S-S_m||&=||S-f_{n_m}||=||sumlimits_{k=m}^infty(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})||\ &leqsumlimits_{k=m}^infty||(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})||\ &<frac{1}{2^m}<frac{epsilon}{2}end{align} 最終， ||f_n-S||leq||f_n-f_{n_k}||+||f_{n_k}-S||leq||f_n-f_{n_k}||+frac{1}{epsilon} ，且令 k>K 時， n_k>N ，所以 ||f_n-S||<frac{1}{epsilon}+frac{1}{epsilon}=epsilon 。完備性得證。Q.E.D.

接下來，進入 Frechet-Riesz表現定理

定理 設 fin H^* ，則恰有一個 z_fin H ，使 f 可表為 f(x)=(x,z_f),forall xin H, 並且 ||f||_{H^*}=||z_f||_H， （以後範數的腳標都省略）

（在進入證明環節之前，首先要明白這裡說的是什麼。上面說過，對偶空間可看成一個評判指標的空間，內積可以看成相似度的評判法則，於是乎，這個定理的意思就是要說：一個評判指標的評判方法可以給出一個具體的參照物進行比較，而且這個指標的好壞和被選擇的參考對象的好壞一樣的。

為了清楚說明這樣的問題，可以帶入這麼一個情境中：一個老闆制定了某項評審規則，那麼手下的員工必有與這個規則相契合。於是乎在評審過程中，全體成員表面上是在被做評審，實則是在與那個與之契合的員工進行比較。而且，員工對這種評審制度的意見便是員工對那個被作為參考對象的員工的意見。

或者說，所謂那些評保研的機制，實際上是在將大多數學生與某個唯一特定的學生進行一一類比。任何人（主任、老師、同學、社會人士等等）對這種制度的看法實際上等同於對這個「唯一指定的學生」的看法。就像某些社會人士宣揚的反智雞湯，說名"校畢業當保安、賣豬肉、給沒學歷的人打工"，然後批評一番教育制度。）

證明：令 M={xin H:f(x)=0} ，則 M 是 H 的子空間。

若 M=H ，則 f(x)=0=(x,0),forall xin H. 取 z_f=0 即可。

若 M eq N ，則有 x_0in Hackslash M 。根據射影定理有 x_0=y_0+z_0,y_0in M,z_0in M^ot. 顯然 z_0 eq 0 且 f(z_0) eq 0 .現在對任給的 xin H ，取 eta=frac{f(x)}{f(z_0)} ，則 f(x)=eta f(z_0)=f(eta z_0) quad(1) 故 f(x-eta z_0)=0 ，從而 x-eta z_0in M 。總之 x=(x-eta z_0)+eta z_0,x-eta z_0 in Mquad (2) 這表明 M 與 {z_0} 張成整個空間。

取 (2) 式與 z_0 的內積，可得 (x,z_0)=eta (z_0,z_0)=eta ||z_0||^2. 從而定出 eta = frac{(x,z_0)}{||z_0||^2}=(x,frac{z_0}{||z_0||^2}). 由 (1) 可得 f(x)=eta f(z_0)=(x,frac{z_0}{||z_0||^2})f(z_0)=(x,frac{over{f(z_0)}}{||z_0||^2}z_0) 於是 z_f=frac{over{f(z_0)}}{||z_0||^2}z_0 即為所求。下證唯一性。若有 z_fin H ，使 f(x)=(x,z_f) 則 (x,z_f)=(x,z_f),forall xin H 即 （x,z_f-z_f）=0,forall xin H 可見 z_f-z_f=0 ，即 z_f=z_f 。最後，證明兩個範數相等。由 egin{align} ||f||_{H^*}&=suplimits_{||x||leq1}|f(x)|=suplimits_{||x||leq 1} |(x,z_f)|\ &leq suplimits_{||x||leq1}||x||||z_f||=|z_f|end{align} 和 egin{align} ||f||_{H^*}&=suplimits_{||x||leq 1}|f(x)|\ &geq|f(frac{z_f}{||z_f||}) |\ &=|(frac{z_f}{||z_f||},z_f)|\ &=||z_f|| end{align} 可見 ||f||_{H^*}=||z_f|| Q.E.D

（若以一種「泛函皆指標」的眼光來看待這個證明過程，每一步就顯得十分顯而易見，所以我就先不多加說明了。）

後續

上面的表現定理指出：給一個 f 能找到唯一與之對應的 z_f 。那反過來想想，如果要是真有那麼一種映射：給一個 z_f 能找到對應的 f ，那麼這會有怎樣的性質呢？

我們定義映射 au:H^* ightarrow H 為 au(f)=z_f,fin H^* 這裡的 z_f 是根據表現定理由 f 所確定的唯一元 z_f 。則 au 是由 H^* 到 H 上的一一對應的保范映射。但它不是線性的，而是共軛線性的： au(alpha_1f_1+alpha_2f_2)= overline{alpha_1} au(f_1)+overline{alpha_2} au(f_2) 因為

任意 f_1,f_2in H^* ， alpha_1,alpha_2in mathbf{C} ， egin{align} (alpha_1 f_1+alpha_2 f_2)(x)&=alpha_1 f_1(x)+alpha_2 f_2(x)\ &=alpha_1(x,z_{f_1})+alpha_2(x,z_{f_2})\ &=(x,overline{alpha_1}z_{f_1}+overline{alpha_2}z_{f_2})\ &=(x,overline{alpha_1} au({f_1})+overline{alpha_2} au(f_2)) end{align}

如果在 H^* 中定義內積 (f_1,f_2)=overline{(z_{f_1},z_{f_2})} 容易驗證 H^* 為Hilbert空間（其實根據表現定理，就可以說明這個內積所引導的範數與前面使之成為Banach空間的範數是一樣的，所以 H^* 對該內積完備。）

於是 au:H^* ightarrow H 是兩個Hilbert空間之間的共軛同構（即 au 有保范、雙射、共軛線性）。如果我們對共軛同構的Hilbert不加區別，視為同一空間，可記 H^*=H 。Hilbert空間的這種性質稱為自共軛性。

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