d2y/dx2中的d2是什麼，它和dx2有什麼區別，為什麼不用dy2？

mathrm{d}^2 就是一階微分運算元 mathrm{d} 作為映射與自身的複合 mathrm{d} circ mathrm{d} ，也就是二階微分運算元咯（當然前提是它得存在）

為啥要寫成類似於乘方的形式呢？因為映射的複合 Box circ Box 在如下意義上類似於乘法運算 Box imes Box

如果運算符 circ 的兩邊都是線性映射並且支持加法和數乘，那麼 circ 是個雙線性運算符

也就是說對於任意標量 lambda 及線性映射 f,f_1,f_2,g,g_1,g_2 可以證明：

egin{align} (lambda f_1 + f_2) circ g = lambda (f_1circ g) + f_2 circ g \ f circ (lambda g_1 + g_2)= lambda (f circ g_1) + f circ g_2 end{align}

（這公式瞧著是不是跟小學乘法長得一模一樣？）

這個微分運算元 mathrm{d} 是個線性映射，自然就可以把 mathrm{d} circ mathrm{d} 視作連乘，從而寫成乘方的模樣 mathrm{d}^2 啦

上面解釋的是 mathrm{d}^2 這種記法的由來，下面再解釋下 mathrm{d}^2 具體的含義，以一維歐氏空間 mathbb {R} 上的函數為例

首先 y=f(x) 表示一個 mathbb {R} 到 mathbb {R} 的映射：

f: x mapsto y

比如斜率 k 的線性函數 g: x mapsto y=kx，這裡自變數 x 和因變數 y 自然都是實數 x, y in mathbb{R}

線性函數簡單好算，而且可以自然地定義線性函數之間的加法和數乘，也就是說所有線性函數構成了一個線性空間，這個線性空間記作 mathfrak{L} (mathbb{R};mathbb{R}) ，站在分號左邊的是自變數所屬集合，站在分號右邊的是因變數所屬集合（奇怪，一個是實數集，另一個也是實數集。。

一般的函數 f 自然不見得是線性的，沒那麼簡單好算，比如算 sin(0) 簡單，算 sin(0.1) 就撓頭啦

這時微分運算元 mathrm{d} 哧溜一下冒出來站到 f 的左邊：「讓俺來幫你捯飭一下，包管算起來 so easy」

於是呢就整出個新函數叫做 mathrm{d}f，它把非線性的 f 盡量給線性化；這種線性化自然只能是局部的，不可能說對 x_1 和 x_2 我都拿同一個線性函數來湊乎，那樣算起來是簡單但誤差可就大了去了

所以這個新函數 mathrm{d}f 應該給不同的自變數 x 配上不同的線性函數 g，讓函數 f 在 x 附近長得跟函數 g 差不離，換言之 mathrm{d}f 是這樣一個映射：

mathrm{d}f: x mapsto g

這裡自變數是實數 x in mathbb{R}，因變數是線性函數 g = mathrm{d}f(x) in mathfrak{L}(mathbb{R};mathbb{R})

所謂差不離就是說對於挨著 x 足夠近的數 x+h，用函數 f 算出來的數和用函數 g 算出來的數也足夠近；當然這裡得摳掉本底 f(x) 先，也就是說函數 g 擬合的不是函數 f 本身，而是 f 在 x 處的差分函數 Delta f_x ：

egin{align} Delta f_x(h) = f(x+h) - f(x) \ = g(h) + o(h) \ = mathrm{d}f(x)(h) + o(h) \ end{align}

記號 o(h) 指代一個相對增量 h 的高階小量，即 lim_{h o 0} frac{o(h)}{h} = 0

記號 mathrm{d}f(x)(h) 意思是用函數 mathrm{d}f 作用到變數 x 得到一個值（又是一個函數！），再用該值作用到增量 h 得到的數；嫌括弧多了腦殼疼的話，也可以記成 mathrm{d}f_x(h)，其實就是把表示差分運算元的大 Delta 改成了表示微分運算元的小 mathrm{d} 啦

寫到這裡，我要劃個重點啦：

函數 f 跟 mathrm{d}f 乃是不同道上混的，前者是從 mathbb {R} 到 mathbb {R} 的映射，函數值是個數 f(x) in mathbb{R} ；後者是從 mathbb {R} 到 mathfrak{L} (mathbb{R};mathbb{R}) 的映射，函數值是個函數 mathrm{d}f_x in mathfrak{L}(mathbb{R};mathbb{R})，稱為 f 在 x 處的微分

從線性擬合的角度看，mathrm{d}f_x(h) 給出了差分 Delta f_x(h) 的一階線性組分，余項 o(h) 給出了剩餘的高階非線性組分；高階非線性組分的貢獻自然遠小於線性組分，因此我們習慣於把它忽略掉

但是如果我們需要考察函數 f 在 x 處更細微的性狀呢？比如已知 x 是極值點，即 mathrm{d}f_x = 0 ，這時函數 f 的性狀就完全被余項所主導，要想知道 x 是極大值點還是極小值點，就必須進一步考察下這個余項是個啥樣子，比如看看能否用平方項來擬合它；平方雖然沒線性函數那麼簡單，但也還是相當 easy 啦，這對我們把握函數 f 的性狀自然大有助益

我們之前從差分函數入手，得到了一階擬合形式；那麼為得到平方項這樣的二階擬合形式，自然的想法是可以從二階差分函數入手，也就是去琢磨差分函數的差分

問題來了：這個差分的差分該寫？

我們看到 Delta 把一個 mathbb {R} 上的映射：

f: x mapsto f(x)

變成另一個 mathbb {R} 上的映射：

Delta f : x mapsto Delta f_x

其中因變數 Delta f_x 也是一個 mathbb {R} 上的映射：

Delta f_x : h mapsto f(x+h) - f(x)

那麼只需把函數 f 替換成函數 Delta f，自然就得到了差分函數 Delta f 的差分：

Delta^2f : x mapsto Delta^2 f_x

其中因變數 Delta^2 f_x 是 mathbb {R} 上的映射：

Delta^2 f_x : h mapsto Delta f_{x+h} - Delta f_x

注意到右側的 Delta f_{x+h} - Delta f_x 本身又是 mathbb {R} 上的映射，這意味著 Delta^2 f_x 可以視為增量 h_1, h_2 的 二元函數：

Delta^2 f_x (h_1,h_2) = Delta f_{x+h_1}(h_2) - Delta f_x(h_2)

把右邊在 x+h_1 處的一階差分項展開，再做些簡單的加減組合，我們可以把 Delta^2 f_x 重新表示成在 x 處的一階差分項的組合：

Delta^2 f_x (h_1,h_2) = Delta f_x(h_1+h_2) - (Delta f_x(h_1)+Delta f_x(h_2))

順便說句，從這個組合形式很容易看出二階差分是個對稱二元函數，亦即：

Delta^2 f_x (h_1,h_2) = Delta^2 f_x (h_2,h_1)

二階差分也可以理解為函數 f 在下圖矩形頂點上的有向和：

Delta^2 f_x (h_1,h_2) = f(x+h_1+h_2) - f(x+h_1) - f(x+h_2) + f(x)

我們現在得到了二階差分的形式，那麼它的意義是什麼？

注意到依照線性函數的定義，對線性形式 mathrm{d}f_x 我們一定有如下恆等式：

mathrm{d} f_x(h_1+h_2) = mathrm{d} f_x(h_1)+mathrm{d} f_x(h_2)

這樣，如果我們把二階差分組合表達式中的 Delta f_x 都替換成 mathrm{d}f_x，那麼二階差分項就沒啦

換言之，如果非線性余項 o(h) 消失，則二階差分項也跟隨消失，兩者密切相關，由此確認了我們之前用二階差分來分析余項的思路是可行滴

讓我們把余項顯式地寫出來，記作 r_x(h)：

Delta f_x(h) = mathrm{d}f_x(h) + r_x(h)

代入二階差分組合表達式，得到完全由余項構成的二階差分形式：

Delta^2 f_x (h_1,h_2) = r_x(h_1+h_2) - (r_x(h_1)+r_x(h_2))

可以想到，如果余項具有平方項的形式，比如說 r_x(h) = h^2 ，那麼上式的右側就等於 2h_1h_2 ，這是一個關於增量 h_1, h_2 的二重線性函數：這東西非常簡單，基本上可以看作是兩個一元線性函數的乘積，處理起來 so easy~~

一般的余項自然不會剛好是個平方項，二階差分自然也不會剛好就是個二重線性函數；但就像我們之前可以試著拿線性函數去擬合一階差分，假如我們運氣好，這個余項雖不是平方項但也差不離了，那我們也可以拿某個二重線性函數去擬合這個二階差分，換言之：

Delta^2 f_x (h_1,h_2) = mathrm{d}^2f_x(h_1,h_2) + o(h_1h_2)

這裡記號 o(h_1h_2) 如前，也是指代一個相對 h_1h_2 的高階小量，即 lim_{(h_1,h_2) o 0} frac{o(h_1h_2)}{h_1h_2} = 0

記號 mathrm{d}^2f_x(h_1,h_2) 是個關於自變數 h_1, h_2 的二重線性函數；我們這裡只討論自變數僅限於一維歐氏空間 mathbb {R} 上的簡單情形，因此 mathrm{d}^2f_x(h_1,h_2) 一定可以寫成某個常數乘以 h_1h_2 的形式；另外前面我們講過二階差分 Delta^2 f_x 關於兩個自變數是對稱的，可以推斷 mathrm{d}^2f_x 一定也是對稱的，亦即：

mathrm{d}^2 f_x (h_1,h_2) = mathrm{d}^2 f_x (h_2,h_1)

所有二重線性函數自然地也構成了一個線性空間，這個線性空間記作 mathfrak{L} (mathbb{R}, mathbb{R};mathbb{R}) （這裡站在分號前有兩個 mathbb {R} ，因為有兩個自變數）

相應地，我們就迎來了一個新映射：

mathrm{d}^2f : x mapsto mathrm{d}^2f_x

這裡自變數是實數 x in mathbb{R}，因變數是二重線性函數 mathrm{d}^2f_x in mathfrak{L}(mathbb{R},mathbb{R};mathbb{R})

繼續劃重點啦：

函數 mathrm{d}^2f 跟 f 和 mathrm{d}f 又不一樣，這是個從 mathbb {R} 到 mathfrak{L} (mathbb{R},mathbb{R};mathbb{R}) 的映射，函數值是個二元函數 mathrm{d}^2f_x in mathfrak{L}(mathbb{R},mathbb{R};mathbb{R})，稱為 f 在 x 處的二階微分

我們現在來算個微分的具體實例，並藉此說明記號 mathrm{d}x 以及 mathrm{d}^2x 的確切含義

考慮最簡單的 mathbb {R} 到 mathbb {R} 的恆等映射：

I: x mapsto y = x

那麼 I 在任意 x 處的一階差分則是：

Delta I_x : h mapsto I(x+h) - I(x) = (x+h)-x = h

也就是說 Delta I_x 同樣是 mathbb {R} 到 mathbb {R} 的恆等映射，因此有 Delta I_x = I

套用前面對微分的定義，注意到 I 本身就是線性函數，那麼不難知道恆等映射在任意 x 處的微分都等於自身：

mathrm{d}I_x = Delta I_x = I

我們習慣於用 y=f(x) 來表示映射，也因此習慣地把 f 的微分用 y 來標記，亦即 mathrm{d}y equiv mathrm{d}f_x

（這個習慣其實不太好，因為 y=f(x) 里的 y 是一個數，而 mathrm{d}y 里的 y 其實是指函數 f ，不仔細的話容易弄混，而且缺少下標來指明是在何處的微分）

對於恆等映射，因為因變數 y 就等於自變數 x ，在這種標記習慣下我們就有了：

mathrm{d}x = mathrm{d}y = mathrm{d}I_x = I

（同樣需要注意記號 mathrm{d}x 里的 x 並不是指代某個特定的數，而是指恆等映射；mathrm{d}x 同樣並不是指代某個特定的數，而是指恆等映射在某處的微分——這個微分正好也是恆等映射）

由此，當我們說函數 y = f(x) 的微分是 mathrm{d}y = f(x) mathrm{d}x 時，其確切含義是指在 x 處給定的如下線性函數：

mathrm{d}f_x : h mapsto (f(x) mathrm{d}x)(h) = f(x) (mathrm{d}x(h)) = f(x) I(h) = f(x)h

（一些教材因此也經常把記號 mathrm{d}x 同增量 h 等同起來，這個就非常容易混淆了，也是招致各種誤解的來源）

現在我們已經說清了記號 mathrm{d}x 的含義：恆等映射在某處的微分——也就是恆等映射自己

那麼 mathrm{d}^2x 是啥含義呢？

它應該被理解為 mathrm{d}(C(x)mathrm{d}x) ，其中 C(x) = 1 是常函數

有人大概要問了：你幹嘛這麼多此一舉的寫個 C(x) 來又讓它等於1，直接寫 mathrm{d}(mathrm{d}x) 不好么？

（留個尾巴，下回再寫，叉會兒腰~~

謝邀。

第一個小問，

frac{d^2}{dx^2} 是二階微分運算元，它把域 R 映射到域 R 的線性空間 mathscr{F}(R,R) 上，

這個空間的元素是域 R 上的線性函數。

d^2 其實是你理解的不完整，不能拆開看，應該是 d^2x 或 d^2y ，

微積分中類似的殘疾概念很多，比如極值與最值，微分與導數，定積分與不定積分，、

第一類換元積分法與第二類換元積分法。

實際上不應該分開的。為什麼分開了？

因為第一代，第二代中國數學教育家們制定微積分知識點大綱的時候，

為了方便初學者學習而拆開的。

第二個小問，需要知道微分的概念。

微分/切映射： df_x:Delta x ightarrow df(x) ，

因為 d^2y e dy^2 ，所以 frac{d^2}{dx^2}y efrac{d^2}{dx^2}y 。

詳細一點： d^2y=d(dy)=d(f(x)dx)=(f(x)dx)dx

=(f(x)dx+f(x)(dx))dx

=f(x)(dx)^2=f(x)d^2x

dy^2=(y^2)dx=(2y)dx

即 d^2y e dy^2

因為 dx^2=d^2x ，所以 frac{d^2}{d^2x}=frac{d^2}{dx^2} 。

直觀地說，

數學上，微分描述的是空間上的線性變化過程，

0階微分描述1維空間上的線性變化過程，就是函數本身，

1階微分描述2維空間上的線性變化過程，1維空間上曲線的單調性，

2階微分描述3維空間上的線性變化過程，2維空間上曲線的凹凸性，

階數 >2 的微分是高階微分，

n階微分描述n+1維空間上的線性變化過程。

物理上，時間作為1個特殊維的空間，

用1階微分運算元 frac{d}{dt} 描述1維空間上線性運動的變化過程/速度。

用2階微分運算元 frac{d^2}{d^2t} 描述2維空間上線性運動的變化過程/加速度。

cdots

同理，高階無限小量在高維空間上的任意一組對偶的對象上是線性的，

可以用高階微分代替。

如果你要問，為什麼要這麼寫？

有些人會說習慣啊，規定啊，約定啊這種直覺理由，

但作為一個初學者，這種直覺的說法並不能解釋這種寫法的動機，理解起來很難受。

實際上，它可能是用分母上的形式表象二階微分的完整性，

用分子上的形式表象二階微分的分割性。

所以分母上不用 dx^2 ，而分子上必須用 d^2y

d2y是二階微分 dx2是兩個一階微分的積

不邀自來(??????) ?

大一的時候咱也和題主一樣傻傻分不清，後來發現其實挺容易區分的(?&> &）

簡單來說：

d2x指x的二階微分，即d(dx)

d(x2)是x2的微分，即2xdx

(dx)2是x微分的平方，也記為dx2

記住以上就很簡單啦(′▽｀)ノ?

至於d2y/dx2，題主就不要管那麼多啦，直接看成對y＝f(x)的二階微分就成～

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