例 對任意的正整數 n ，設 S_n=frac{1}{sqrt{1}}+frac{1}{sqrt{2}}+cdots +frac{1}{sqrt{n}} 。證明：對任意的正數 M 以及正整數 n ，都存在正整數 p ，使得 S_{n+p}geq S_n+M 。

解答 注意到 frac{1}{sqrt k}=frac{2}{2sqrt k}>frac{2}{sqrt k+sqrt {k+1}}=2(sqrt{k+1}-sqrt k)

因此 S_{n+p}-S_n>2(sqrt{n+1+p}-sqrt{n+1})

取 p=[Mcdotsqrt{n+1}+frac{M^2}{4}]+1 ，得

S_{n+p}-S_n>2(sqrt{n+1+Mcdot sqrt{n+1}+frac{M^2}{4}}-sqrt{n+1})

=2(sqrt{(sqrt{n+1}+frac{M}{2})^2}-sqrt{n+1})=M ，證畢。

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