一圈為何是360°？

一圈是，這聽起來似乎很自然，自然到不會去問為什麼。我們習慣於用形容轉一圈的角度，但當學習進一步深入，就開始接觸一個新的用於描述角度的單位——弧度。而科學家說：「弧度讓數學更簡單！」那這是為什麼呢？

首先說說為什麼一圈是。

我們將地球繞太陽一周定義為理論上的一年。其實際所需的時間約為天，人們為了取整方便，就定義了閏年，每隔4年出現一次，在天的基礎上加一天，正好也能夠補償前年所累計的誤差。

那有人就會問了，既然如此，為什麼一圈是，而不是或是？

因為容易被整除，的真因數除了和自身以外，一共有個（2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180），所以很多特殊角的角度都是整數。另外，這也更加符合以為進位的「巴比倫數字」系統。

如果說這還不具有說服力，還有一個例子，就是中國的二十八星宿(xiu，讀第四音)。（看到這張圖，突然想到了「物華天寶，龍光射牛斗之墟；人傑地靈，徐孺下陳蕃之榻」。）

（圖片來源：Wikipedia）

由於月球繞行地球一周為日，所行路徑為白道（與黃道夾角），古人將白道圈分成段，即將黃道和天赤道附近的天區劃分為二十八個區域，因此月球大約每日可入宿到段中的一個星宿內。二十八宿又分為四組，每組七宿，與東西南北四個方位和青龍、白虎、朱雀、玄武四種動物形象相配，稱為四象。

（圖片來源：Wikipedia）

而因為潮汐鎖定而形成月球的同步自轉（自轉周期和公轉周期相等），導致月球永遠只能一面面對地球（當然這一特點和星宿劃分並沒有什麼直接關係）。

（圖片來源：Wikipedia）

總之，星宿就是以行星、恆星運動周期來劃分圓周的一個典型例子。

中國人看星宿，西方人看星座。下圖是年一年間紐約夜空所觀察到的大熊座（Great Bear，中國稱為北斗七星）的位置變化情況。可以看出，每過一年就會循環一圈。

（圖片來源：Betterexplained）

以繞太陽一周為周期似乎是一個不錯的方法，對於生活在地球上的人類來說，這很自然。但如果參考標準變化，就會發現這樣的劃分其實摻雜了太多的人為因素。

例如，如果人類生活在火星，而不是地球上，或許人們就會把一個圓周定為，因為一個火星年大約是天。而對於某些建築或土木工程人員，他們可能更習慣用梯度，即將一個圓周劃分為份。

（圖片來源：Wikipedia）

為了避免這種任意性所帶來的標準不統一，人們需要一個新的定義來定義角度。因此有了「弧度」的概念，如下圖，圓的一圈(不管圓的半徑大小，角度都是弧度），這是因為圓的直半徑與周長之間的恆定的比例關係造成的，詳細證明可見：古人是如何尋找到π的？。

弧度定義的演示 (圖片來源: http://1ucasvb.tumblr.com)

可以把「度數」的定義視為是一種以自己為中心來看待角度問題的方法，而將「弧度」的定義視為是一種站在他人立場上看待角度問題的方法。聽起來有些繞口。

舉個例子，你站在操場中心，另一個人與你之間有一定的距離且繞著你沿圓周跑步，你要做的就是保持你的臉始終朝向那個人。假設那個人跑的長度為，根據你和那個人之間的距離就可以計算出你的頭偏轉的角度。

（圖片來源：Betterexplained）

也就是說「度數」關心的是你的頭偏轉的角度，而「弧度」則關心的是那個人奔跑的距離。其本質區別在於參考對象變了。

弧度的定義就是：以某一點為中心（圓心點，對應於上圖中的藍色圓圈），運動點（對應於上圖中的紅色圓圈）繞圓心點做圓周運動的長度除以運動點到圓心點的距離。

通常寫為下式：

因此，一圈是或弧度，1弧度約為 $frac{360}{2π}≈57.3°$ 。

那麼，弧度為什麼會給工程帶來方便呢？其原因就在於弧度是站在「運動點」的角度看問題，而不是站在「圓心點」的角度看問題。

例如，在測量某些轉速時，人們通常使用的是rpm(Revolutions per minute)，即每分鐘多少轉，而不是每秒鐘或每分鐘多少度。

舉一個更具體的例子，就能感受到弧度到底方便之處。假設你有一輛汽車，汽車輪胎半徑2米（誇張一下），先用角度的概念提問，若車輪每秒轉，問汽車前進的速度有多快？

計算方法是：

1、計算每秒輪胎轉過的圈數： $frac{2000}{360}=frac{50}{9}$ 圈；

2、計算每秒轉過的周長： $2×π×2×frac{50}{9}=frac{200π}{9} m/s$ 。

現在用弧度的概念提問，若車輪每秒轉弧度，問汽車前進的速度有多快？

計算方法是：

直接用輪胎半徑乘以每秒轉動的弧度：。

嗯嗯，這樣方便多了。果然老司機。

Reference

[1] Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians; https://betterexplained.com/articles/intuitive-guide-to-angles-degrees-and-radians/

[2] Degree(angle); https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(angle)

[3] Babylonian numberals; https://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_numerals

[4] Lunar node; https://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_node

[5] Tidal locking; https://en.wikipedia.org/wiki/Tidal_locking

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