复变函数学习笔记(4)——最大模原理

参考资料: Polya,Szego数学分析中的问题与定理在复变函数部分的习题122、134、135、138,以及廖良文的复分析基础的引理4.3.1和定理4.3.7、习题4.14,4.17, 以及Stein复分析的习题1.13.

引理1 设

是上的解析函数, 则

$dfrac{1}{2pi}int_0^{2pi}|f(re^{i heta})|^2d heta=|a_0|^2+|a_1|^2r^2+ |a_2|^2r^4+cdots+|a_n|^2r^{2n}+cdots.$

证明: 用 $|z|^2=zar{z}$ 处理 $dfrac{1}{2pi}int_0^{2pi}|f(re^{i heta})|^2d heta$ , 展开后用幂级数乘法比较系数即可.

定理2 设是圆盘内的解析函数, 是在圆周上的最大模, 则 .

证明: 注意到$z_0+re^{i heta}$在圆周上, 利用引理1以及Taylor公式, 得

$egin{aligned} &|f(z_0)|^2+left|dfrac{f(z_0)}{1!} ight|^2r^2 +cdots+left|dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!} ight|^2r^{2n}+cdots \ =&dfrac{1}{2pi}int^{2pi}_0|f(z_0+re^{i heta})|^2d hetaleq M^2. end{aligned}$

所以 , 等号成立当且仅当 $f^{(k)}(z_0)=0, k=1,2,cdots$ 即为常数.

引理3 如果函数在区域内解析, 且在内为常数, 则在内为常数.

证明: 记 , 则 , 分别对分量求偏导数, 用Cauchy-Riemann方程即可.

引理4 设在区域内解析, 若在内的一个圆盘内恒等于0, 那么在内恒等于0.

证明: 只需证任意一点 , 都有 . 用完全位于内的曲线连接与 , 在上取点 , 其中(保证点在$D$内)

$|z_k-z_{k+1}|<delta=min{R, dist(L,partial D)}.$

作的邻域 $D_{delta}(z_k)$ , 则有

$z_{k+1}in D_{delta}(z_k).$

下面我们说明在每个邻域都恒等于0. 我们还是用Taylor展开来证.

由于 , 则

$f^{(k)}(z)equiv 0, zin D_R(z_0), k=1,2,cdots.$

又由 , 那么 $f^{(k)}(z_1)equiv 0$ , 在的Taylor展开式系数也为0, 自然

$f(z)equiv 0, zin D_{delta}(z_1)$

这样推下去即可以证 .

定理5 设在区域内解析, 若在内的某一点取到它的最大模, 则在内恒等于一实数.

证明: 设

$M=max_{zin D}|f(z)|=|f(z_0)|, z_0in D.$

若 , 则已证完; 设 , 取使得圆盘 , 则由Cauchy积分公式得

$f(z_0)=dfrac{1}{2pi}int_0^{2pi}f(z_0+Re^{i heta})d heta.$

所以

$M=|f(z_0)|leqdfrac{1}{2pi}int_0^{2pi}|f(z_0+Re^{i heta})|d heta.$

然而 $|f(z_0+Re^{i heta})|leq M$ , 我们说明这个不等式的小于号不成立: 若存在使得

$|f(z_0+Re^{i heta_0})|<M,$

由的连续性知, 存在使当时, $|f(z_0+Re^{i heta})|<M$ 成立, 记

则

$egin{aligned} M=&|f(z_0)|leq dfrac{1}{2pi}int_0^{2pi}|f(z_0+Re^{i heta})|d heta \ =&dfrac{1}{2pi}left[int_E|f(z_0+Re^{i heta})|d heta+ int_{ heta_0-delta}^{ heta_0+delta}|f(z_0+Re^{i heta})|d heta ight] \ <&dfrac{1}{2pi}left[int_EM heta+int_{ heta_0-delta}^{ heta_0+delta}Md heta ight]\ =&dfrac{1}{2pi}2pi M=M, end{aligned}$