Coordinate-free 的證明正如 @李木子 所寫的。假設 A 是 n 為向量空間 V 上的線性變換我們要證明的其實就是 det(A)=det(A^T) 。根據定義 det(A) 是線性變換 Lambda^nA: Lambda^n(V) oLambda^n(V)

Lambda^n A(v_1wedgecdotswedge v_n)=Av_1wedgecdotswedge A v_n

對於的scalar，即 Lambda^n A(omega)=det(A)omega, forall, omegain Lambda^n(V) . 類似地，

det(A^T) 是線性變換 Lambda^n A^T: Lambda^n(V^*) o Lambda^n(V^*) 對應的scalar，這裡 V^* 表示 V 的對偶。只需要注意到對於有限維空間 Lambda^n(V^*) 自然同構於 (Lambda^n(V))^* （這個對無限維空間不一定成立），因此 Lambda^n A^T 可以看成Lambda^n A 的轉置 (Lambda^n A)^T ，因此

langle Lambda^n A(omega), xi^* angle=langle omega,Lambda^n A^T(xi^*) angle

這裡 omegain Lambda^n(V), xi^*in (Lambda(V))^* 以及雙線性形式 langle omega,xi^* angle:=xi^*(omega)

於是我們得到

det(A)langle omega,xi^* angle =det(A^T)langle omega,xi^* angle

根據雙線性形式是非退化的即可得到 det(A)=det(A^T) 。

我們也可以根據矩陣行列式的定義

det(A):=sum_{sigmain S_n} ext{sgn}(sigma)prod_{i=1}^n a_{isigma(i)}

來證明 det(A)=det(A^T) ，這裡 S_n 表示 對稱群， ext{sgn}(sigma) 表示排列 sigma 的符號（奇排列為 -1 ，偶排列為 1 ）。在上面求和中做變數替換 sigmamapsto sigma^{-1} 並使用 ext{sgn}(sigma^{-1})= ext{sgn}(sigma) 即可得到

det(A)=sum_{sigma^{-1}in S_n} ext{sgn}(sigma^{-1})prod_{i=1}^n a_{sigma^{-1}(i)i}

這個問題實際上相當於在問, 為什麼 det A = det A^T . 如果說明這一點, 就可以說明按行展開和按列展開是一樣的, 因為後者其實就是轉置之後按行展開.

我不想在這裡寫如何按定義證明這件事情. 我希望試圖解釋為什麼這件事情是自然的. 考慮線性空間 V , 對偶空間為 V^* . 如果取定一組基, 使得 V 和 V^* 上的配對是行向量乘以列向量, 那麼轉置可以如下定義為 left<v^*, Av ight> = left<A^Tv^*, v ight>, , forall, v^* in V^*, v in V .

現在 V 和 V^* 上的配對可以確定 Lambda^ ext{top}V 和 Lambda^ ext{top}V^* 的配對. A 誘導 Lambda^ ext{top}V 上的線性變換 det A . 於是由於Lambda^ ext{top}V 和 Lambda^ ext{top}V^* 是一維線性空間, det A = det A^T 實際上的意思是說 left< omega^*, (det A) omega ight> = left< (det A^T) omega^*, omega ight>, , forall, omega^* in Lambda^ ext{top}V^*, omega in Lambda^ ext{top}V . 也就是誘導變換的伴隨是伴隨的誘導變換.

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