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《如何用一張1×1的紙折出正七邊形？ 》

一文中，我們知道了一張1×1的紙可以玩出怎樣的花樣：折出長度比等於1：的兩段、三等分一個角、得到正n邊形（n=費馬質數）。

當然，如果除了紙和雙手以外，你還有更多的工具，創造出一些驚人的藝術品也不是不可能，就像這樣：

Credit：Meenakshi Mukerji

這次我們就暫不討論剪紙工藝的問題，而是繼續暢遊Origamics的世界，用數學的方法去虐手。

認識芳賀

芳賀和夫（Kazuo Haga）被認爲是摺紙幾何的開創者，筑波大學（University of Tsukuba）教授，同時在植物分類學和數學領域有突出貢獻。

芳賀生於1934年，作爲一名具有探索精神的研究者，早些時候他就發現了摺紙過程中的一些數學結論，但並沒有作爲研究重點去關注。

直到之後與其他數學家的交流中，他提到了自己的這些“小發現”，沒想到受到了其他人的高度讚賞，從此就一發不可收拾，在摺紙的路上越走越遠。不僅提出了Origamics這一學科領域，還在1992年第三次摺紙年會上，用自己的名字命名了芳賀第三定理。現在，我們通常把摺紙幾何中的三個基本定理分別稱爲芳賀第一、第二和第三定理。

2008年，芳賀出版了圖書《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》（摺紙幾何：用摺紙來探索數學），裏面包含了更多有趣的結論，圖文並茂地展示了這個年輕學科裏的內涵和無限的可能性。

《Origamics: Mathematical Explorations Through Paper Folding》

芳賀第一定理

芳賀第一定理是教你如何折出三等分點的定律。

關於芳賀最早的“小發現”，經過歸納之後變成了我們現在所說的芳賀第一定理，它巧妙地把中點、三等分點、3:4:5直角三角形融合到了一張1×1的白紙上。

說到摺紙幾何，這一定理無疑可以幫助我們真正理解其中的精髓。

下面就請同學們緊張地拿出準備好的1×1白紙，跟着我一起折吧。

第一步：將紙對摺，找到一邊的中點，我們叫它P點

第二步：找到P點右下對應的正方形角點D點

第三步：摺疊使D點與P點重合，同時正方形底邊與臨邊相交於Q點

這時， Q點是正方形臨邊的三等分點，如下圖：

P是AB的中點時，我們得到BQ=2QC

利用相似三角形的性質，我們可以輕易證明這一結論，但關於這個圖形還有更多值得注意的地方。

通過計算，我們發現AR：DR=3:5。由於是翻折，所以DR=PR，再加上∠A是直角，聰明的你一定發現了直角PAR是著名的勾股三角形（三條邊的長度之比等於3:4:5），不知你有沒有和我一樣，很驚喜很意外呢！

好了，根據芳賀第一定理，簡單兩步我們就得到了三等分點（QC=1/3），不要就此止步，我們可以順着這個思路繼續走下去，看看有沒有其他的隱藏成就等着我們去發現。

多走一步！

答案是肯定的。要嘗試其他可能，第一反應大概就是讓P點在邊上移動了，芳賀也確實是這麼做的。

有些數學基礎的小夥伴們掐指一算，就不難發現：無論P在邊上怎麼移動，AP，BQ，CQ還有另外幾條線段之間都有相同的關係：

如果正方形邊長是1，其他線段之間的關係

簡單取幾個數試試，當P點分別是2等分點、3等分點、5等分點的時候，對應的Q點就是3等分點、2等分點、3等分點。

至此我們就完整回答了上篇文章裏讀者提出的找3等分點的問題。

關於芳賀第二、第三定理，本文就不展開贅述了，摺紙到現在已經不易，且行且珍惜。後面的內容數學性較強，歡迎有興趣的讀者繼續試探。

等分等分等分！

按照上面的辦法，要多等分線段的話，我們首先要找到對應的P點。然而，當你需要找例如6等分的Q點時，你會發現對應的AP需要等於5/7，6等分點都沒找着，我們上哪去找5/7的點呢？真是讓人頭大。

這下總算終於輪到新方法登場了，接下來的步驟同樣簡單，卻可以幫你找到n等分線段（當然n是正整數）的辦法。想知道怎麼做到的？迭代！

首先我們來看基本操作。

對於CE上任意一個點A，

第一步：沿CD摺疊，得到摺痕CD

第二步：沿A點對摺，得到摺痕AB

第三步：沿EB摺疊，得到交點X

第四步：沿X點對摺，得到F、G兩點

基本操作完成。

熟悉的味道，相似的三角！~ 我們找出XFE和BAE這對相似三角形，結合下圖寫出那個偉大的等式。

聰明的你會發現，如果像圖中這樣表示長度，設正方形邊長爲1，那麼一定有

EF/AE = XF/AB

也就是： x/(1/(n-1)) = (1-x)/1

化簡：x=1/n

是的x=1/n！如果你沒有看出其中的玄機，可以嘗試帶入具體的數字試試看。

如果n=2，就是AE=1，這時A點就在C點，那麼x=1/2，廢話！因爲基本操作其實就是把紙對摺了。

接着，如果n=3，就是AE=1/2，A是中點，那麼x=1/3，神奇！3等分點get。

再往後，你大可以把上次的F點當作下次的A點，找到另一個F點，那麼x會依次等於1/4，1/5，1/6……

堅持到這裏，不知道你有沒有和小編一樣恍然大悟的感覺呢？這就是迭代的力量，通過重複完成同一個基本操作，我們可以找出線段上的n等分點（只要你的紙足夠大）。

那麼，摺紙系列到此就結束了，撒花！對於有興趣的小夥伴們，相信你們已經領會到了箇中奧妙，大門已經開啓，各位各自前行就好。不太感冒的小夥伴權當是一種嘗試，世界還很大，我們之後會繼續陪你探索的，下次見。

參考資料：

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_of_paper_folding#Huzita–Hatori_axioms

https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/7023

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8A%B3%E8%B3%80%E5%92%8C%E5%A4%AB

https://mathigon.org/origami#intersecting-planes

來源：

牛油果進化論

百度TA說 特邀自媒體

一個不正經的學術平臺

編輯：Quanta Yuan