關於Laplace變換的筆記

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一、什麼是拉普拉斯變換

對於所有實數t≥0，函數f(t)的拉普拉斯變換是函數F(s)定義為：

${displaystyle F(s)=int _{0}^{infty }e^{-st}f(t),mathrm {d} t}$

參數s是一個複數： σ和ω為實數

拉普拉斯變換的其他表示法中使用或 $displaystyle {mathcal {L}}_{t}left{f(t) ight}$ 而非F。

二、Laplace有什麼用？

它可以簡化微分方程的求解，用代數運算完成微積分運算。

三、拉普拉斯變化與冪級數的關係

拉普拉斯變換可以看成是冪級數的一個連續模擬。如果a(n) 是正整數n的一個離散函數，那麼與a(n) 相關的冪級數為：

$sum _{n=0}^{infty }a(n)x^{n}$

其中x是實變數（參見Z變換）。n是離散的，如果將對n的加和替換成對t的積分，則此冪級數的連續形式為：

${displaystyle int _{0}^{infty }f(t)x^{t},mathrm {d} t}$

其中離散型函數a(n) 被替換成連續型的f(t)。（參見梅林變換。）x為底實在很令人討厭，如果將其改變為可愛又迷人的e得：

${displaystyle int _{0}^{infty }f(t)left(e^{log {x}} ight)^{t},mathrm {d} t}$

要使這個積分對任何有界函數f都收斂，就需要滿足，負數也令人討厭，用正數s替代：?s= logx，可得拉普拉斯變換：

${displaystyle int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},mathrm {d} t}$

換句話說，拉普拉斯變換是冪級數的一個連續模擬，只是把離散參數n換成了連續變數t，x換成了e^?s。

四、一些拉普拉斯變換公式的推導

1、1=> $int_{0}^{infty}1cdot e^{-st} dt$ = $lim_{t ightarrow infty}{x}frac{e^{-st}-1}{-s}=frac{1}{s}$

2、 $e^{-at}$ => $int_{0}^{infty}e^{-at}cdot e^{-st} dt$ = $int_{0}^{infty}e^{-(s+a)t} dt$ = $lim_{t ightarrow infty}{}frac{e^{-(s+a)t}-1}{-(s+a)}=frac{1}{s+a}$

3、 ${displaystyle {egin{aligned}{mathcal {L}}left{f(t) ight}&=int _{0^{-}}^{infty }e^{-st}f(t),mathrm {d} t\&=left[{frac {f(t)e^{-st}}{-s}} ight]_{0^{-}}^{infty }-int _{0^{-}}^{infty }{frac {e^{-st}}{-s}}f(t),mathrm {d} tquad { ext{(by parts)}}\&=left[-{frac {f(0^{-})}{-s}} ight]+{frac {1}{s}}{mathcal {L}}left{f(t) ight},end{aligned}}}$

即 ${mathcal {L}}left{f(t) ight}=scdot {mathcal {L}}left{f(t) ight}-f(0^{-})$

一般化的結果是： ${mathcal {L}}left{f^{(n)}(t) ight}=s^{n}cdot {mathcal {L}}left{f(t) ight}-s^{n-1}f(0^{-})-cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$

也就是說，如果所有 $f^{(n)}(0)=0$ ，則 $f^{(n)}(n)=s^{n}F(s)$

4、（利用歐拉公式） => ${omega over s^{2}+omega ^{2}}$

5、（利用歐拉公式） => ${s over s^{2}+omega ^{2}}$

6、 $t^{n}$ => $frac{n}{s}displaystyle {mathcal {L}}_{t}left{t^{n-1} ight}$ =...= $frac{n!}{s^{n}}displaystyle {mathcal {L}}_{t}left{t^{0} ight}$ = ${n! over s^{n+1}}$