又如傅里葉創立了傅里葉變換和傅里葉分析這兩大數學分科。他也只是用小部分的時間研究數學，大部分時間搞物理。那時的數學家往往在數學的很多領域（如數學分析、幾何、代數、微分方程等）中同時作出貢獻，有的在數學科學之外也有所建樹，他們是名副其實的科學家。

19世紀末葉至20世紀初葉，情況發生了變化，隨著分工變細，產生了純粹數學家。

他們只研究數學，不搞其他科學，那時有些學者就以純粹數學家自居，其中最著名的有哈代，他提倡純粹數學，所著分析教程也以純粹數學教程命名，又如，羅素對數理邏輯有貢獻，他也以純粹數學家自居。

在20世紀40年代以後，數學專家越來越多，這些專家只能研究數學的某個分支。諸如，有的積分論專家一輩子只研究積分論，有的函數論專家幾十年只搞函數論。20世紀60年前後，能被稱得上是數學家和數學權威的只有兩個人，一位是諾伊曼，他對幾何學、代數學、分析學、測度論、運算元論、泛函分析、計算機科學、數值分析等都做出了重要貢獻，還對量子力學做出了貢獻；另一位是蘇聯數學界的權威柯爾莫戈洛夫，他早年對函數論和傅里葉分析作出過傑出的貢獻，後來又對泛函分析、拓撲學等分支作出了重要貢獻，尤其是他完成了概率論的公理化工作，不僅如此，他還是資訊理論、控制論的創始人之一，對應用數學也有很多貢獻。

而近30年來，人們所說的數學家多半是數學專家。他們主要是在數學的一兩個分支上作出了重大貢獻，這種現象導致了布爾巴基學派的呼籲，該學派的口號是：「今後的數學教育應面對一個偉大的目標，即著重培養綜合性的數學家，而不光是數學專家」。

綜上所述，分工過細的積極作用是，各專一行，便於攀登學術高峰，並較快地達到登峰造極的地步，但分工過細的消極影響卻更大，隔行如隔山，相互間很難協作，不利於攻克大型問題，有時也要藉助於其他分支的方法。

舉一個例子來說明這一點，原來單葉函數論中有個著名的比伯巴赫猜想，長期以來，各國學者為證明其正確性做過許多努力，但他們都只能在某種條件下進行論證，這個猜想後被美國數學家布朗基利用特殊函數論的有關結果完全證實。由此看出，過分專門的數學專家對數學理論的推進作用不大，即使在純理論的數學領域裡，要想作出出色的貢獻也得精通幾個數學分支，解決應用數學中的問題，更是這樣。

分工過細，各守一隅，還容易文人相輕，各自為政，甚至無限排斥，阻礙數學新分支的成長，對數學的發展極為有害。例如，1983年我去訪問美國數學界就發現從事純粹數學研究的人對非標準分析、模糊數學、組合數學就持輕視、貶低的態度。這個現象是18-19世紀所沒有的，實際上，除傳統的分析外，非標準分析也應該加以研究，模糊數學應用面很廣，組合數學在計算機科學中起著很大的作用，都應該加以研究。

這種由於分工過細，知識面窄所形成的不知天外有天、山外有山的狹隘觀念，給數學的進一步發展帶來了很大的困難.

三數學教育與教學方法固步自封所帶來的困難

現在數學教育的教材內容陳舊，教學方法古板，教學觀點偏於形式主義和機械。

這是從宏觀的觀點說的，國外也如此，許多數學工作者認為，總的說來，現在初中、高中教材基本上是16-17世紀的產物，大學教材是18-19世紀的東西，大學生直到做畢業論文時才接觸20世紀的文獻，教材編寫數十年如一日，沒有什麼變化。例如，我國高校現行微積分等教材基本上沿襲20世紀50年代向蘇聯學習時的那套傳統，雖經幾次改寫，還是三十四年前的東西，只是組織得更有條理、更嚴格、更形式化一些而已。

但至今我們都沒有接觸流形的觀點，美國近20年來都開設「流形上的微積分」課，國外工程師都會運用這種流形分析工具，其實流形的觀點並不困難，而且用流形觀點講微積分反而簡化某些概念使其便於應用，我國近幾年開始注意這個問題，先後翻譯和出版了基本關於流形上的微積分方面的著作。

上述固步自封的局面適應不了當代數學發展的需要，現在數學教育已經到了非革新不可的階段。

而在教材編寫的風格上，問題更是嚴重，回顧歷史，18-19世紀是數學蓬勃發展的階段。那時的分析和代數教材演繹、歸納並重，教材編寫遵循從特殊到一般、從具體到抽象的認識規律，使初學者首先從直觀上認識數學內容的背景，然後上升到理性認識。但是近幾十年來，特別是19世紀末到20世紀初，數學發展到所謂理性主義階段，寫書強調綜合統一、嚴格化。演繹法在數學中取得支配地位，最後，數學教材只反映演繹而無歸納了。近半個世紀以來，由於公理化的影響，尤其是現代形式主義的影響，公理化主義、純形式主義反映到數學中來，數學被逐步描述為公理化系統。應該承認，公理化思想是數學發展的一大進步，把數學知識整理成公理化系統，使其更有條理、更嚴密，是很有必要的，但是作為教材，只持形式主義觀點固然可以訓練人的邏輯思維能力、卻難以培養學生靈活的創造、發明能力，應該演繹、歸納並重。

國內外數學教材所存在的這一通病引起了數學界的注意，20世紀60年代前後，國外曾出現「新數學運動」，他們提倡用結構主義觀點處理教材和教法，這實際上就是布爾巴基學派的觀點，從數學的發展來看，這種觀點是無可非議的。在教學上，他們把數學理解成結構，研究數學就是研究各種數學結構（母結構、有序結構、代數結構和拓撲結構），把數學知識歸納為三大基本類中的某一類或由這些基本類所形成的交叉結構，按此觀點改革當時的教材，中學數學首先講集合論，還要講形式邏輯，數理邏輯的一部分及數學結構等知識。

這種思潮遍及美、英、法等國，歷時10年而已失敗告終，其原因在於，這種作法既違反數學具有歸納、演繹二重性這一本質，也違反人的認識規律。更可笑的是，這樣教出來的學生只會夸夸其談，不會計算，譬如，叫他們計算3×7，他們首先考慮3×7是否等於7×3，「新數學運動」後又被稱為教改的試驗時期，它雖是革舊布新，但其實質是變直觀為形式，失敗也就在所難免。

20世紀70年代初期，教改進入反省時期。此時美國傑出的數學家兼教育家波利亞的觀點重新受到人們重視，他的基本思想是：「數學體系具有歸納、演繹二重性，數學教材也要體現這種二重性，教改和教學都要符合人的認識規律」。

20世紀80年代以來，數學發展的趨勢朝著離散數學方向有力地增長著。離散分析得到進一步的發展，離散分析包括數論、布爾代數、線性代數、抽象代數、編碼與解碼理論、數理邏輯、組合數學、圖論、離散概率論等數學分。這樣說並不意味著微積分與經典分析將不再享有盛譽，而只是說，它在數學中的支配地位及其應用面臨一場挑戰，

例如，A.Ralston就寫過一篇論「微積分的衰落，離散數學興起」的文章。誠然，「微積分是人類才智的最大業績之一」，儘管國內外目前還是連續數學占統治地位，但是今後，離散分析卻完全有可能與經典分析平等地設置於某類學科的學習計劃中，認識未來數學發展的這一特點，就應該組織一定力量研究離散數學。

在這之後，數學的發展處於醞釀階段並走向新的變革時期，我們現在正面臨這個新的歷史時期，時代要求數學工作者是保守思想最少的激進派。

四「數學學」必然興起

近幾年，國內外不少學者提出了「數學學」的概念：

「數學學」是以數學本身為研究對象的科學，它不是數學分支，也不是數學哲學，而是統率全部數學的一門學問。數學學正處於萌芽狀態，但仍可以預見其內容至少應包括文獻學、評析學、方法學三個方面：

數學文獻學：現今數學文獻浩瀚如海，數學文獻學旨在研究如何使用電子計算機儲存文獻，繼之對其進行整理，分析、分類、以備數學研究工作者查閱、引用。為此，必須解決如何分析，如何分類等原則問題，將來還需要通過智能機進行文獻檢索和管理。

數學評析學：國內外都有文學評論學，並有專門雜誌發表評論文章，我國也提倡文學評論，魯迅就提倡過評析，數學也應該提倡評論。評論就要分析，所以叫「評析學」，通過評析，對大量數學文獻、資料和數學成果去粗取精，沙裡淘金，這門科學需要數學發展史、辯證唯物主義和數學哲學作為其基礎，已提供評析數學成果的觀點和標準，由此可見，創建這門學問是一項重要而艱巨的任務。

數學方法學：數學方法學是探索數學的發展規律、思想方法以及數學領域中的發現、發明和創新等法則的一門學問，開展數學方法學的研究將為造就我國新一代的數學家作出很大貢獻。

當然，「數學學」可能遠不止這些內容。

總之，不論進行數學創作或評析都必須有歷史眼光和自己的見解。眾所周知，我國唐朝文學發達，提倡作詩，但能傳誦至今者並不多，熟知的《唐詩三百首》就是經過歷史多次篩選所留存的精華，我們從事數學研究也需要有歷史眼光，抓住那些推動數學發展的關鍵性問題進行研究，爭取作出開拓性工作。舉一個小例子，有個數學家名叫佐恩，他曾寫過一篇只有兩頁長(編者註：實際長度為3頁半)的短文，證明了「凡所含諸鏈皆有上界的偏序集必有極大元素」這個命題，即所謂ZORN引理。

該引理被後人在文獻中千百次地引用，他雖非傑出數學家，但他所證明的ZORN引理簡便引用，生命力強，這個成果勢必流傳千古。而集體研究，分工協作，聯名發表文章，撰寫著作也將是一個十分普遍的現象，像現在物理科學已經很明顯，多為集體研究、分工協作，像核物理研究所為了探索新的粒子，常組織數十人的隊伍合作攻關，有的文章發表時作者名字排了長達一頁，這趨勢一定會進一步加強，這種行為也應該大力提倡，因為可以集思廣益，提高研究質量，有利於解決大型問題，作出開闢性工作，歷史上，布爾巴基學派這個研究組織已經為我們樹立了良好的典範。

17世紀到19世紀，數學發展的直觀源泉主要是物理學，1951年，馮諾依曼曾說過，分析是技術上的最大成功和數學中最精彩部分，近幾十年來，人們研究運籌學、生命科學等，數學的直觀源泉已遠遠超出物理學的範圍。

我們進行數學研究應該到更廣闊的天地（自然、社會、人文、管理、行為和計算機等領域）中去尋找新思想、新觀點和新方法。有人預言，今後數學創造思想的豐富源泉簡史「事理學」，此外，還有許多邊緣科學要大加發展，諸如生物數學等，對此，羅馬尼亞、法國已有專門雜誌，數學心理學也已形成，它主要運用拓撲學、統計學方法來進行研究。數學語言學，這是一門新學科，波蘭有一個學派已做了很重要的貢獻，還有數理經濟學以及正在醞釀的數學社會學、環境數學等，數學與其他科學的結合會得到進一步的發展，離散數學將進入全盛時代。

有人預言，在未來數學發展史上會有這麼一天，離散數學將代替連續數學占統治地位。目前，某些離散問題通過分析學解決得很好。例如，解析數論就是用分析學處理一些離散的對象，離散分析的發展將成為未來數學發展的重要內容，它雖亦具有本身的研究思想方法、內容和問題，但與連續數學存在著思想和方法的相互影響，二者在未來必是緊密相聯的。

我們認為，分析數學和離散數學的交互為用、滲透和發展將成為未來新興數學的特色.

五現代數學教育工作者必須重視的幾個概念

數學教育的時代性與「科學文化人」：

數學教育目標不應被看成某種絕對、一成不變的東西，恰恰相反，我們應當明確地肯定數學教育的時代性，而後者的一個基本內涵是指數學教育目標應當充分反映時代的要求，從而培養出現代社會所需要的人才。

自20世紀80年代以來，在世界各國，特別是歐美各國掀起了一場新的數學教育改革運動，而其共同的指導思想就在於以下認識：人類社會由工業社會向信息社會的轉變對數學教育提出了新的更高要求，我們應當以「普遍的高標準」去取代傳統的數學教育目標。

具體地說，「數學上的高標準」是指不僅要掌握一定的數學知識和技能，而更重要的是指具有數學地思維的習慣和能力，即能數學地去觀察世界、處理和解決問題。在20世紀80年代開始，「問題解決」一直是美國數學界的主要口號，然而，儘管這一口號具有一定的歷史必然性和內在合理性，但它有具有一定的局限性，單純的問題解決的思想是過於狹窄了。

我所希望的並非僅僅是教會我的學生解決問題，而是幫助他們學會數學地思維。

數學的社會性與「數學共同體」：

許多人對於數學家的想像就是他們總是一個人坐在書桌間冥思苦想，即使取得了成功他們也只有孤芳自賞，但更多的卻是「花幾天或幾周時間完全糾纏一個問題，幾乎排除一切活動，而不感到孤寂。

然而現代的數學哲學研究卻已表明這並非是數學活動的真實寫照。

因為在現代社會中，每個數學家並非離群索居，無論其自覺與否，他總是作為「數學共同體」的一員從事自己的研究活動，從而其活動不應該被看成是完全孤立的。例如，以下的事實是數學活動具有社會性質的最明顯論據，數學家總需要在一定的學術刊物或學術會議上發表或闡述自己的研究成果，以期取得其它人的了解和評價，而這事實上也就是一個審定的過程，這就是說，一個數學家的研究成果只有獲得了共同體的接受才能真正成為數學的組成部分。

也正因為如此，「數學共同體」對於各個數學家的具體工作就有著重要的規範作用，而這就是所謂的「數學傳統」的主要內容。具體地說，「數學傳統」主要圍繞以下兩個問題展開的：什麼是數學？應當如何去從事數學研究？例如，在最廣泛的意義上，以下可認為是「數學傳統」最為基本的組成部分：數學家的工作目標是要獲得這樣的成果，他們是藉助於為數學共同體所一致接受的語言得到表述的，是對於為共同體所公認為有意義的問題的解答，並建立在為共同體所一致接受的論證之上。

應當指出的是，對於大多數數學工作者來說，其對於數學傳統的學習和繼承常常是一種不自覺的行為，即是通過早年的學習和研究活動不知不覺地形成的。另外，在很多數學教育家看來，這同時也就暴露了現行教育的一個嚴重弊病，即學生通過學校的數學學習並沒有形成正確的數學觀，其「學校的數學」不等於「真正的數學」。

這當然會造成非常嚴重的消極後果，例如，在我看來，以下就是一個應當引起我們高度警戒的錯誤觀念：問題中所已知的條件對於這一問題的求解一定是「恰好的」，即為了解決這一問題，你必須用到每一個已知條件，而如果真正用到了每一個條件，也就一定可以解決這一問題，顯然，就數學的實際應用而言，情況遠非如此簡單.

數學發展的規律與「數學文化」：

數學文化一個很重要的含義，那就是應該是整個人類文化中一個重要組成部分，我們不僅要注意研究數學作為一種「子文化」與整個人類文化的關係，也要從文化的角度去從事關於數學的動態研究，如研究數學發展的動力和規律。

東西方文化的一個重要差異就在於，數學在西方文化，特別是理性精神的歷史發展中始終佔有一個特別重要的地位，而在東方（特別是古代中國），「數學」卻被列入「實用技藝」之中，未能得到足夠的重視。

我們應當高度重視數學教育與各個特定文化環境的關係，這是國際數學教育研究中十分熱門的一個研究課題。例如，正是出於這樣的考慮，人們提出了「民族數學」的概念。核心思想就是指學生不應被看成生活在「真空」之中除去從學校所學到的就是一片空白，恰恰相反，學生在入學以前已通過在一定社會環境中的生活獲得了一定的數學知識，並形成了一定的思維習慣，而這些會對其在學校中的學習產生重要的影響。而且，即使在入學以後，這些因素也可能通過與社會的接觸得到進一步的發展和強化，所以，應當如何去看待「民族數學」以及如何作好由「民族數學」向「正規數學」的轉化，便是數學教育工作者所必須正視的一個問題。

後記：

經過近70年的發展，在徐利治、張奠宙、張景中三位教授的帶領下，當代的中國數學教育逐漸的走出了自己的道路，初步形成了自己的理論體系。他們作為數學家，卻毅然投身於數學教育之中，不僅創造了豐富的數學教育理論成果，而且影響了一批又一批數學教育工作者。可是去年和今年，在張奠宙和徐利治教授逝世之後，很少見到有主流的媒體報道，在「好玩的數學」公眾號緬懷徐利治教授的文章有一個留言顯得格外的刺眼：

「先是張奠宙先生，現在是徐利治先生，那一個不比文藝戰線的人強千萬倍，媒體卻沒有報道，國之不幸，嗚呼哀哉」。

雖然他們不在乎這些，雖然他們在投身於中國數學教育的那一刻起或許就已經知道，

但是，對不起，我在乎，

就像家裡的父母長輩一樣，我可想可想讓全中國的人都知道我的家裡，在中國數學界、中國數學教育界里有這樣一個值得所有人敬佩和記住的名字。

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