什麼是上極限？
上極限是當n→+∞ k＞n時，an的上確界嗎？
謝邀，問題很初等，我藉機科普一個概念：數列的（極限 limit point）凝聚點（accumulation point）
Limit point - Wikipedia?en.wikipedia.org
一個點 叫數列
的凝聚點當且僅當對於任意的
,區間
包含無限個數列中的項。這和集合的極限點（凝聚點）不是一個概念。如果把數列看成集合，它的集合凝聚點一定是數列極限點，但是反過來不是。比如數列
,這個數列（的值）作為集合是
,它只有離散點，沒有凝聚點。但是，
都是數列
的數列凝聚點。
一個點 叫數列
的凝聚點的等價定義是存在一個子序列
使得它的極限剛好就是
.好了，回到數列的凝聚點，任何有界數列都有凝聚點，這些凝聚點本身構成一個集合，這個集合是一個有界閉集（也就是緊集），然後它的最大值就是上極限。
如果證明任何有界數列都有凝聚點呢？只需要取一個單調數列就好，任何一個數列必然包含一個單調子序列。對於任意的 , 我們選取其中的尖峰項
, （一個數列項滿足
就叫尖峰項）。只有兩個可能，這個序列只包含有限個尖峰項，這個時候這個數列在某一個項後自然存在一個嚴格單調遞增的數列。如果這個數列包含無限個尖峰項，這些尖峰項本身構成一個單調遞減序列。一個有界的單調序列必然有極限，這是實數本身的性質決定的，所以任何有界數列必然有極限。
還有一種非常便宜的用來計算的定義，那就是 , 在這個定義中數列
雖然不是原數列的子列，但是它的極限必然是原序列極限點（大家證明看看）。然後你還能證明這是所有極限點中的最大者。這個數列
是本身是單調遞減的，所以我們可以直接把
.
類似的，我們可以定義下極限。為什麼我們需要說明那麼多的等價定義呢？因為在實際使用的過程中，你得根據情況選擇最佳的定義作為工具，這也是學數學基本的思路。
謝邀。
我們知道，很多數列是沒有極限的，除了發散至無窮這種情況外，大部分數列沒極限的原因是極限的「候?選手」太多了，而極限只能有一個。
這樣的數列非常容易構造出來：把趨於不同極限的多個數列「混合」在一起就好了。比如：
n=1,2,3,...
以上三個數列都有極限，分別是0、0.5、1
構造新的數列：a?，b?，c?，a?，b?，c?，…
這下新數列就沒有極限了。但是，我們知道，新數列中存在子列c，它的極限最大並且是1，為了表述這個事實，我們就發明了上極限的概念，同理，也可以定義下極限。用符號表示：
就是在極限符號上加一條橫線即可；等號右邊使用上確界，描述子列當中最大的極限。
如果，對於趨於無窮的數列，將 ∞ 也視為這個數列的極限，那麼任意一個數列都存在上極限了！
這下，我們就把數列極限的定義推廣了，對任意數列都可以研究其極限性質了。
另外，補充一個很顯然的事實：
當一個數列上、下極限相等時，數列存在極限，並且等於上、下極限。
利用該性質可以判別數列收斂性，這不就是「夾逼準則」嗎？
準確說是該點列所有聚點(正、負無窮也可視為聚點)的上確界。有界點列的聚點總是存在的，無解點列，至少正、負無窮是一個聚點。
例如：1,2,1,1,後面都是1
它的上確界是2，但上極限就是極限，是1。
例如：1，-1，1，-1，....
它沒有極限，但它有兩個聚點，1，-1
因此上極限是1，下極限是-1.
看見標題，我還以為是在說colimt。唉。
要先去看看上確界和下確界的概念上確界的下確界
個人覺得那個活塞理論很棒
先理解部分極限的概念。
任何函數在一點至少有一個部分極限。
部分極限中總有最大的(上極限)和最小的(下極限)。
函數在一點有極限等價於該點所有部分極限相等。
從結論上說，是上確界也沒錯。
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