賦范線性空間第四節

上一章：拓撲與距離空間第一節

第一節：賦范線性空間第一節

下一章：希爾伯特空間第一節

本節對賦范空間上的函數定義微分，是第二章的實數函數微分的拓展。

賦范線性空間是域上的線性空間，並定義有代表距離的範數。雖然賦范線性空間不一定是線性域，但是由於範數的存在，同樣可以定義無窮小量為範數無窮小的非標準元。

對於賦范空間，定義 $I_{mathscr N}={xin {}^*mathscr N|Vert xVertin I_R}$ ，其中表示無窮小超實數集。此時是 ${}^*D$ 上的線性空間。

一、局部函數

設是域上的賦范空間，依據以上定義，取分別為其上的無窮小元集合。

設內函數的定義域是 ${}^*mathscr N$ 的子集，值域是 ${}^*mathscr M$ 的子集。此時如果有成立，稱是局部函數。

以上是書上的定義原文，然而閱讀過程中發現此處定義有點問題，所以我直接將局部函數的定義修改為 .

對於局部函數，稱其等價，當對於任意並且，都有 $frac{f(x)-f(y)}{Vert xVert}approx 0$ .此時記 .

二、局部線性

如果局部函數滿足以下兩個條件，稱其為局部線性。

(1)

(2)如果 $alphain {}^*(D-F)$ ，則

定理4.4.1，設是局部線性映射，此時存在唯一的線性運算元 $T:{}^*mathscr N ightarrow{}^*mathscr M$ ，使得與在上一致。並且此時有限。

證明：

設 $alpha in Fsubseteq {}^*D$ ，對於 $xin {}^*mathscr N-{0}$ ，由線性性可知 $Tx=alpha Vert xVert cdot Tleft(frac{x}{alpha Vert xVert} ight)=alpha Vert xVert cdot fleft(frac{x}{alpha Vert xVert} ight)$

因此如果存在必然唯一。

使用上式作為的定義，的線性性由定義可知。以下證明有界性。

反設無界，則存在 $xin {}^*mathscr N$ 使得但是是無窮大。

此時 $Vert TxVert=Vert TxVert leftVert fleft(frac{x}{Vert TxVert} ight) ightVert$ ，因此 $leftVert fleft(frac{x}{Vert TxVert} ight) ightVert=1$ .

然而這與 $frac{x}{Vert TxVert}in I_mathscr N$ 矛盾。

定理4.4.2，設是局部線性映射，分別是其擴張。此時當且僅當對於 $xin {}^*mathscr N$ 並且，都有 .

設，此時

$T_1x-T_2x=frac 1alpha(T_1(alpha x)-T_2(alpha x))=frac{f_1(alpha x)-f_2(alpha x)}{Vert alpha xVert}approx 0$

設，則

$frac{f_1(u)-f_2(u)}{Vert uVert}=T_1(frac{u}{Vert uVert})-T_2(frac{u}{Vert uVert})approx 0$ .

三、微分

對於局部線性函數，如果存在有界限性運算元，並且對於任意都有，此時稱是微分。

定理4.4.3，設是微分，如果，則 .

設分別對應，則對成立。特別地令時 .

任取，則有：

$T_1(x)=Vert xVert cdot T_1(frac{x}{Vert xVert })=Vert xVert cdot T_2(frac{x}{Vert xVert })=T_2(x)$ .

因此，自然有 .

定義，設，並且，此時定義 $Delta_{x_0}f=f(x_0+u)-f(x_0)$ ，則 $Delta_{x_0}f$ 是上的函數。如果 $Delta_{x_0}f$ 與唯一的微分等價，稱那個微分為 $d_{x_0}f$ 或，此時 $Delta_{x_0}f=df+alpha(u)cdotVert uVert$ ，其中是局部映射。