第一個下標 對應上限（這裡指的是 ）,最後一個下標對應下限（這裡指的是 ）

：我猜這個一定不好理解，所以我們好好說一下

這個算符理解的難點在於下標的變化規律，比如下面的例子：

這就是說 所有下標之和為 ，即：

最後一個 的下標就是 （這裡 ）。但並不是所有和為 的 都滿足條件，比如 就不行，這個 的取值是有規律的（以下是從 到 的所有可能性）：

可見其變化的個數分別是： 。即使這樣列出來我們恐怕也難以發現規律，所以，我們要仔細研究一下這些數字究竟是如何變化的：

首先，一個比較明顯的規律是：

即第一位每減少 就從最後一位開始向前將 變為 ，始終保持和為 。

另外一個比較明顯的規律是：

即第一位第一次減少 就把最後一位的 變為 ；第二次減少 就把倒數第二位的 變為 並將倒數第二位之後的所有數字清零；第三次減少 就把倒數第三位的 變為 並將倒數第三位之後的所有數字清零；...以此類推，始終保持和為 。

下面便是比較不容易發現的規律了：

按理來講，有規律的東西應該可以利用一個公式進行描述，但很可惜，原文中並沒有給出這樣一個公式，而我雖可以發現規律，但卻也不能夠發現這條公式。所以，我只能盡量用文字把這些數字之間的變化規律講清楚。（如果有哪位見多識廣的大佬能夠發現或者知道規律公式的，還請留在評論中，不勝感激！）

我就從上面選一條不長也不短的式子進行解釋好了（全部開頭數字是 ，我就省略不寫了 ）：

：

首先是四條總則：

• 最後面的兩位只要是 就先變成 。
• 要把所有數字全部變為 。
• 只要後面是 便無法在更變，開始新一輪的更變。
• 開頭變為 之後便可保留不動，以第二位數字為新的開頭數字並重複之前過程（詳見下）。

在總則的基礎上，我們再詳細看看這些數字是如何變化的：

除開頭數字以外，其餘所有數字都為零，就把最後一位變為 ，然後將開頭數字減 ：

最後一位數字變為 之後便無法在改變。此時，將最後兩位數字變為 ，同時將開頭數字減 ：

使用總則第一條：

此時最後兩位已是 ，便無法在變化。於是將最後三位的數字變為 同時將開頭數字減 ：

此時首位已變為 則保留首位，變化後面所有位。此時 變為了新的開頭數字，則以 為新的開頭數字重複過程 即可。

其餘所有其他變化均滿足以上規律，只不過是變化數量多少的問題。顯然，從 總的變化也符合該規律。

所以，利用第一個算符， 式展開為 ：

知道了這兩個算符是如何進行計算之後，我們就可以進入正題了：

對於這樣的一個二階線性差分方程，我們將其改寫成為矩陣形式：

現定義：

是初值矢量。從而，上式可以改寫為：

引理1：

：

利用數學歸納法： 假設 時成立：

當 時：

現在再定義：

所以：

即：

當然，對於二階矩陣 也有對應的遞推公式：

其等價寫法是：

且：

引理2：

由於證明過程太繁瑣，這個引理就不進行證明了。可以利用數學歸納法進行證明。

• 算例：

求： ,初值矢量 已知的通項公式 。

解：

由該差分方程對應之前的一般形式的二階線性差分方程發現：

且由引理1及其後續我們知道：

再拿到引理2，當 時有：

則當 時：

當 時：

考慮到： ，故

綜上所述：

其中：

參考文獻：

[1]. 《變係數差分方程的求解》.蔣興國、朱道元. 東南大學學報. 1995年11月.

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