上一節：鍵山小鞠：希爾伯特空間第三節-伯恩斯坦洛賓遜定理

前綴有點長，所以解釋一下名詞的含義。緊緻不是陌生概念，一個運算元緊緻意味著它將有限點映射為近準點。自共軛指的是 (Tx,y)=(x,Ty) ，自共軛矩陣又稱厄米特矩陣（Hermitian Matrix）或自伴隨矩陣。譜是特徵值的一般化，其定義為：稱 lambda 在有界運算元 T 的譜內，當 (T-lambda I) 不存在有界的逆運算元。換句話說， (T-lambda I) 要麼不是單射，要麼不是滿射，要麼它雖然是雙射但 (T-lambda I)^{-1} 無界。如果空間是有限維，那麼任何一個線性運算元都可以寫成矩陣的形式，此時線性運算元的譜就是它所對應矩陣的特徵值。

本節的目標是用非標準分析的手段證明緊緻自共軛運算元的譜分解定理。首先選取任意的希爾伯特空間 H ，根據共起性定理，存在空間 Ein {}^*mathscr E -mathscr E ，滿足 Hsubseteq Esubseteq {}^*H ；此時 H 可以看作嵌入了一個「有限維」的空間內。在下文中我們固定這樣的 E ，並記 P=P_E .

設 T 是自共軛的緊緻運算元。

引理1，如果 xin {}^*H 是近準點，那麼 Pxapprox x .

對於 xapprox yin H ，因為 Hsubseteq E ，所以 yin E ，故 Px=P(x-y)+Pyapprox Py=yapprox x

引理2， Vert TVertleq Vert TVert ，並且如果 xin H 則 Tx=Tx .

Vert TVertleq Vert PTVertleq Vert TVert ，設 xin H ，此時 Txin Hsubseteq E 所以 Tx=PTx=Tx

引理3，如果 T 在 E 上自共軛，則 T 也在 E 上自共軛

取 x,yin E ，則 (Tx,y)=(PTPx,y)=(x,PTPy)=(x,Ty)

引理4，如果 xin E 是有限點，則 Tx 是近準點

由緊緻性得知。

我們已知，有限維度的自共軛運算元可以對角化，因此由於 T 是超准域內的有限維自共軛運算元，可以取到固有值 |lambda_1|geq|lambda_2|geq...geq|lambda_ u| 與正規直交基底 {r_i}_{ileq u} 使得 Tr_i=lambda_ir_i .並且，由於 |lambda_i|leq Vert TVert ，所以固有值都是有限的。

引理5，如果 |lambda_j| otin I ，那麼 r_j 是近準點。

根據固有方程， Tr_j=lambda_jr_j ，因此 lambda_jr_j 是近準點， lambda_jr_japprox t_jin H 令 mu_j={}^circ(lambda_j) eq 0 ，則 r_japproxfrac{t_j}{mu_j}in H ，因此是近準點

引理6，設 varepsilon>0 ，則對於 kin {}^*N-N ，總存在 jleq k 使得 |lambda_j|<varepsilon .

反設 |lambda _j|geq varepsilon 恆成立，則 |lambda_j| otin I ，因此根據引理5， r_j 是近準點恆成立根據畢達哥拉斯定理， i,jleq k 並且 i eq j ，則 Vert r_i-r_jVert=sqrt2 ，因此記 s_i=left{egin{array}{}r_i&,ileq k\0&,i>k end{array}<br /> ight. ，則對於任意的 iin {}^*N 都有 Vert s_i-s_jVert geqsqrt2 根據第三章的遠准性定理，一定存在 ileq k 使得 s_i 是遠準點，矛盾

引理7，如果 lambda_{r+1}=lambda_{r+2}=...=lambda_{r+k} 並且都不是無窮小，那麼 kin N

由單調性和引理6易得

接下來，將固有值改寫為無重複的序列，既 {lambda_i}={chi_i} 並且 |chi_1|>|chi_2|>...>|chi_mu|

將 x_i 對應的固有向量為 r^{(i)}_1,...,r^{(i)}_{mi} ，記其張成的空間為 E_j ，則有 E=E_1oplus...oplus E_mu ，因此 P=P_{E_1}+...+P_{E_mu} ，藉此可以構成 T 的譜分解。

引理8，存在 bin E 與 varepsilon>0 使得 Vert bVertleq 1 並且 Vert TbVert >varepsilon

因為 T eq 0 ，所以存在 cin H 使得 Tc eq 0 ，此時令 a=c/Vert cVert ，則 alpha=Vert TcVert/Vert cVert>0 ，記 b=P_Eain E 則 Vert bVertleq Vert aVert=1 並且 Vert TbVert>frac14alpha>0 .

定義 W={jin {}^*N||chi_j| otin I} ，此時由於定義中用了外部符號 I 所以 W 並不一定是內集合。以下，我們首先證明 W 的元素都是有限自然數，之後分情況討論。

引理9， W eq emptyset .

由引理8易得。

引理10， Wsubseteq N .

設 min W ，則存在 varepsilon>0 使得 |x_m|geqvarepsilon ，因此根據引理6， min N

至此，根據定義，我們可以知道 W={1,2,...,k} 或者 W=N .

引理11，如果 xin {}^*H 是近準點，那麼 TPxapprox Tx .

根據引理1， Txapprox TPxapprox PTPx= TPx

引理12，如果 u,vin {}^*H 是近準點，那麼 {}^circ (u,v)=({}^circ u,{}^circ v) .

由內積連續性直接可得。

定理13，各個 r_j {}^circlambda_j,{}^circ r_j 是 H 之中 T 的固有值和固有向量。

T{}^circ r_japprox Tr_japprox TPr_j=Tr_j=lambda_jr_japprox{}^circ lambda_j{}^circ r_j

同時，由於 {}^circ r_j eq 0 ，所以根據引理12， (^circ r_i,{}^circ r_j)=delta_{i,j}

之後，記 s^{(j)}_i={}^circ r^{(j)}_i ，widetilde H_j= ext{span}(s^{(j)}_1,...,s^{(j)}_{m_j})subseteq H，則 s^{(j)}_i 構成正規直交基底，因此 widetilde H_j 是 m_j 次元空間，並且對於 j eq k ， widetilde H_jot widetilde H_k

另一方面， P_{H_j}x=sum_{i=1}^{m_j}{(x,s^{(j)}_i)}s^{(j)}_i ，因此 P_{widetilde H_j}xapprox P_{E_j}x .

記 K=widetilde H_1opluswidetilde H_2oplus... ，並令 widetilde H_0=K^ot ，則有 H=widetilde H_0opluswidetilde H_1oplus... ，對於任意的 xin H 都有 x=P_{widetilde H_0}x+P_{widetilde H_1}x+...

最後，記 u_j={}^circ chi_j ，分類討論，則有以下的兩個定理：

定理14，如果 W={1,2,...,k} ，則 T 的固有值是 0, u_1,..., u_k ，並且 T= u_1P_{widetilde H_1}+ u_2P_{widetilde H_2}+...+ u_kP_{widetilde H_k} .

首先可以得到對於 xin H 的分解： Tx=sum_{j=1}^{k}{chi_jP_{E_j}x}+sum_{j=k+1}^{mu}{chi_jP_{E_j}x} ，只需要證明 sum_{j=k+1}^{mu}{chi_jP_{E_j}x}approx 0 即可。證明略去。

之後，證明 0 是固有值，只需考慮 xin widetilde H_0 即可。最後，對於固有值 lambda ，有 lambda r=sum_{j=1}^{k}{lambda P_{widetilde H_j}}r=sum_{j=1}^{k}{ u_jP_{widetilde H_j}}r ，根據直和分解的唯一性， lambda= u_j .

定理15，如果 W=N ，則 Tx= u_1P_{widetilde H_1}x+ u_2P_{widetilde H_2}x+... .

首先因為對於所有 jin N 都有 | u_j|approx|chi_j| ，所以根據無窮小延長定理，存在無窮大的 n 使得 | u_n|approx |chi_n|approx 0 ，因此 0 是數列 | u_i| 的極限點，結合單調性，可知 lim | u_i|=0 .

對於 xin H ，想要證明的是 Vert Tx-sum_{j=1}^{n}{ u_jP_{widetilde H_j}x}VertapproxVertsum_{j=n+1}^{mu}{chi_jP_{E_j}x}Vert 趨於 0 .對於有限的 n ， Vertsum_{j=n+1}^{mu}{chi_jP_{E_j}x}Vertleq| u_{n+1}|cdotVert xVert ，因此左式極限為 0 .

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