希爾伯特空間第二節

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下一節：希爾伯特空間第三節-伯恩斯坦洛賓遜定理

本節的主題是正交投影，內容比較多，就是一大堆定理（所以花了很長時間）。證明手法並不是很具有非標準分析特色。為了防止有人不知道，在這裡重新說明一下，本系列只不過是抄書，僅僅是把非標準分析教材上的內容搬到知乎上而已，除了偶爾犯的錯誤以外沒有原創成分。

上一節將討論局限於，本節則不對空間做任何限定，討論更廣泛的情況。

以下三個命題的正確性很容易驗證。

(1)設 ${t_1,...,t_k}$ 是內的一組正規直交系，則它們生成了的一個閉子空間。

(2)設 ${E_n}$ 是單調增加的線性空間，則 $igcup_{nin N}E_n$ 是線性空間。(3)如果

是線性空間，則

是線性空間。

定理5.2.1，設是的閉子集，則對於任意，存在唯一的使得 $Vert x-yVert=min_{zin E}Vert x-zVert$ .

設 $alpha=inf_{tin E}Vert x-tVert$ ，則存在 ${z_n}subseteq E$ 使得 .因此，對於 $uin {}^*N-N$ ， .如果能證明是近準點，並且，那麼自然有並且 .
反設不是近準點，那麼根據的完備性，必然存在正的實數使得對成立。根據的定義，可以取使得 $Vert x-uVert<left(alpha^2+frac{r^2}4 ight)^frac12$ .一方面，根據平行四邊形等式，另一方面， $Vert(x-u)+(x-z_ u)Vert=2Vert x-frac12 (u+z_ u)Vertleq 2alpha$ 因此，，導致矛盾。從而一定是近準點。

以上定理證明了對於空間內的點與空間內的閉子集，必然存在唯一的一個使得取得最小值。因此，記這個為 .

定義（直交補空間）

對於閉子集，定義 $E^ot={xin H|xot E}$ ，稱其為的直交補空間。

引理5.2.2，直交補空間是線性閉子空間。

只需要證明對於 $xin {}^*E^ot$ 與有成立即可。
根據內積的連續性，對於，，因此，證畢。

引理5.2.3，對於，當且僅當

左推右：
如果，那麼顯然，此時；令，，並且令，，此時根據的定義，此時有因此， $Vert x-(y+lambda z)Vert^2=alpha^2+lambda^2Vert zVert^2-2lambda mathscr{R}(x-y,z)>alpha^2$

此時令 $lambda=frac{mathscr{R}(x-y,z)}{Vert zVert^2}$ ，則 $frac{mathscr{R}(x-y,z)^2}{Vert zVert^2}< 0$ ，矛盾，這也就是說必然有
另一方面，綜上，，這也就是說右推左：設，則，而根據必打哥拉斯定理，因此根據定義，

引理5.2.4，是有界線性運算元，並且只要，

設，
由於分別是線性空間，所以，

根據引理5.2.3，有：
因此線性性得證。同時，，因此

引理5.2.5，設是線性閉子空間，並且，此時是線性閉子空間。意即是線性閉子空間，並且對於任意，總有 .

設，此時是線性函數，因此是線性閉子空間。
設，由於並且，因此；同理；因此這樣的表示方法是唯一的。

引理5.2.6，設是閉子空間，則

這是因為

引理5.2.7， $E^{otot}=E$

$H=Eoplus E^ot=E^otoplus E^{otot}$ ，因此 $E=E^{otot}$

引理5.2.8，設，則

設，此時
對於任意，有：因此，，這也就是說

推論5.2.9， $I=P_E+P_{E^ot}$

只需令 $I=P_H=P_{E+E^ot}$ 即可

推論5.2.10，如果，則 $P_G=P_{E_1}+...+P_{E_n}$

數學歸納法

引理5.2.11，，因此是自共軛的

設，其中，那麼此時

定義（投影運算元）

以上，我們發現投影是自共軛的，並且，因此我們定義：
稱一個有界線性運算元是投影運算元，當其是自共軛的，並且冪等。

定理5.2.12，所有投影運算元都可以表示為的形式

是線性運算元，因此是閉子空間，此時可以定義
為了證明，只需證明即可。，故得證

定理5.2.13，對於閉子空間，以下等價：

(1)

(2)

(3)

(4)

（自共軛運算元意義上的序關係，意即

）

證明一下吧。
(1)→(2)

令，只需證明即並且
前者是顯然的，至於後者，由於與，因此 (2)→(3)， (3)→(4)， (4)→(1)設，則，同時 $I-P_F=P_{F^ot}$ ，因此：

引理5.2.14，設是閉子空間，此時

(1)

(2)

是投影運算元

(1)因為，所以，因此
(2)只需證明它是自共軛的冪等運算元 $egin{array}{ll}((P_F-P_E)x,y)=(P_Fx,y)-(P_Ex,y)=(x,P_Fy)-(x,P_Ey)\=(x,(P_F-P_E)y)end{array}$

引理5.2.15，設 ${G_n|nin N}$ 是單調增的閉子空間，並且 $G=overline{igcup_{nin N} G_n}$ ，此時對於任意的，都有 $lim P_{G_n}x=P_Gx$

首先考慮 $Vert P_{G_n}xVert$ 構成的數列，由本節定理13可知， $Vert P_{G_n}xVert leq Vert P_{G_{n+1}}xVert$ ，因此 $Vert P_{G_n}xVert$ 是單調有界數列，從而是柯西列。
同時，對於， $Vert P_{G_m}x-P_{G_n}xVert^2=Vert P_{G_m}xVert^2-Vert P_{G_n}xVert^2$ ，因此 $P_{G_n}x$ 是內的柯西列，從而有極限。設極限為，只需證明即可。設，則存在使得，則

引理5.2.16，設 ${E_n|nin N}$ 是閉子空間列， $G=igoplus_{iin N}E_i=overline{igcup_{iin N}left[igoplus_{j<i}E_i ight]}$ ，此時，對於任意的，都有 $P_Gx=sum_{iin N}{P_{E_i}x}$ ；這是引理15的直接推論

引理5.2.17，設 ${Q_n|nin N}$ 是單調減投影運算元列（投影運算元意義上的大小），此時對於任意， ${Q_nx|nin N}$ 有極限

根據定理13，設 $Q_n=P_{E_n}$ 時，必然有 $E_{n+1}subseteq E_n$ ；記，則 $I-Q_n=P_{G_n}$ ，並且 $G_nsubseteq G_{n+1}$ .
根據引理15，對於任意的，存在，使得，因此 .

定理5.2.18（格拉姆施密特正交化定理），設 ${u_n|nin I}$ 是線性獨立的點列，此時存在正規直交點列 ${t_n|nin I}$ ，使得 ${u_1,...,u_k}$ 張成的空間等於 ${t_1,...,t_k}$ 張成的空間

用歸納法證明，對於 ${u_1,...,u_k}$ 與 ${t_1,...,t_k}$ ，令 $v_{k+1}=u_{k+1}-P_{E_k}u_{k+1}$ ， $t_{k+1}=frac{v_{k+1}}{Vert v_{k+1}Vert}$ 即可。其中是由 ${u_1,...,u_k}$ 張成的空間。