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　　一位數學家最近求出了方程 33 = x + y + z 的一組整數解，令同行和數學愛好者非常興奮。這種形式的方程看起來簡單，實際上卻需要藉助最先進的計算機才能找到答案。現在，100以內的所有整數中，唯一不能寫成x + y + z 形式的，就剩下42了。

　　編譯 | 楊莉昕 戚譯引

　　數學家一直想知道數字 33 能否寫成三個整數立方之和的形式，也就是說，方程 33 = x + y + z 是否有整數解。最近，英國布里斯托大學（University of Bristol）的數學家 Andrew Booker 終於破解了這個難題，他發現：

　　8,866,128,975,287,528)

　　+

　　–8,778,405,442,862,239)

　　+

　　-2,736,111,468,807,040)

　　=

　　33

　　相關論文已經以預印本形式發表

　　（論文鏈接）

　　，數論學家和數學愛好者們爲之歡呼雀躍。這個方程雖然一眼就能看懂，實際上它卻可以追溯到數學中最古老的謎題之一，對這個領域的探索將對我們理解整數的性質甚至計算機的運行帶來啓發。

　　丟番圖方程

　　k = x + y + z 問題是丟番圖方程（Diophantine equation）的一種形式，其中 x、y、z 和 k 均爲整數。這個方程以古希臘數學家丟番圖命名，但它可以追溯到古巴比倫時代。費馬那句著名的“我想到了一個絕妙的證明，但是這頁邊空白太小了寫不下”，最初就寫在這條方程旁邊。（費馬大定理：當整數 n>2 時，關於 x, y, z 的不定方程 xn+ yn=zn沒有整數解。）

　　據考證，費馬讀的是 1621 年出版的《算數》，右側空白就是那個寫不下證明的地方。圖片來源：Wikipedia

　　在這個“三次方之和”問題中，對於 k 的不同取值，方程可能無解，也可能存在無限多解。例如，當 k=29，我們很容易想到 29 = 3 + 1 + 1 。還有一些情況，例如對 k=32，方程沒有整數解。

　　自從 1955 年以來，數學家就嘗試藉助計算機解決這一問題。一些方程的解數字十分龐大，比如 k=26 的情形，26 = (114,844,365) + (110,902,301) + (–142,254,840) 。在排除無解的數字之後，數學家一般用窮舉法計算方程的解，也就是簡單粗暴地一個個嘗試可能的選項。在 1999 年，有數學家算出了 k=30 的一組解，這三個數字中有兩個是負數，都包含 9 到 10 位數字，看起來更像是彩票號碼。

　　到 2015 年，對 100 以下的 k 值，還沒有被解決的數字只剩下33、42 和 74。對於 k=33，當時數學家們已經對 1014以下的數字進行了搜索，卻一無所獲。到 2016 年 4 月，法國數學家 Sander Huisman 在 1015以下的數字中進行搜索，解出了 k=74 對應的方程，代價是約十萬個 CPU 小時的運算量。

　　到這個時候，100 以內還未找到整數解的 k 值只剩下 33 和 42。

　　加速“彩票遊戲”

　　2015 年，YouTube 數學頻道 Numberphile 發佈了一個介紹丟番圖方程的視頻。這個視頻非常火爆，如今已經有超過 140 萬次觀看。儘管 Numberphile 一再溫馨提醒觀衆“不要嘗試暫停視頻親自計算”，它卻引起了數學家 Andrew Booker 的強烈興趣。（有趣的是，前文解出了 k=74 對應方程的法國數學家也是通過這個視頻“入坑”的。）

　　Booker 設計了一種簡單的算法，大大提高了搜索的效率，並且他將搜索上限提升到 1016。具體而言，他對方程做了一些簡單的變換：

　　x3+y3+z3=33

　　x3+y3=33-z3

　　x+y)(x2-xy+y2)=33-z3

　　由於 x+y 爲非零整數，方程可以被轉換爲：

　　x2-xy+y2=(33-z3)/d

　　x+y=d

　　只要選定 z 和 d 的值，那麼這就是一個二元二次方程組。計算機要做的就是針對不同的 z 值和 d 值，一一確定方程組是否有整數解。

　　Booker 告訴Quanta Magazine，之前的算法“不知道它們在找什麼”，它們可以在給定範圍內對整數進行搜索，尋找方程 k = x + y + z 的解，其中 k 爲任意整數；也就是說，舊的算法不能針對特定的 k 求出方程的解，比如對於 k = 33，而他的算法可以。也正因此，相比於那些沒有目標的算法而言，它的運行速度“在實際運用中要快 20 倍”。

　　Booker 使用了大學裏的超級計算機，他原本以爲要花上六個月，但實際上只用了三個星期。在 Numberphile 發佈的新視頻中，Booker 回憶起找到答案的那天：“計算機在（2 月 27 日）早上 9 點 05 分找到了答案。當時我剛剛送孩子們去上學，然後走進校園。大約九點半的時候，我來到辦公室，就看到了這個。”

　　計算機從千萬億種可能性中篩選出了這三個奇怪的 16 位整數。經過驗算，Booker 高興得在辦公室裏跳了起來。

　　“42 是新的 33”

　　這個發現當然也有超級計算機算力提升的功勞。Booker 笑稱，那三個解對應的數字他自己都背不下來。這樣的計算顯然不是人力能夠完成的。

　　直到不久之前，計算機還無法實現在數軸上正負均達 1016（或者說一千萬兆）的範圍進行搜索，尋找方程的解；如今，Booker 還計劃將搜索範圍提升到 1017，以尋找 k=42 對應的解，他已經確定 1016範圍內不存在解。在 100 以內的整數中，去掉不存在解的整數之後，無法表示成三個整數的立方之和的如今只有 42 了。

　　Booker 和其他專家表示，每個新發現的解並不會爲尋找下一個解提供線索。再說即便“解決”了 42，數論學家仍會面臨 101 至 1000 之間的 11 個尚未找出解的更“頑固”的整數。Booker 說：“我認爲這些研究目標的有趣程度還不足以證明花費大筆錢款隨意佔用一臺超級計算機是值得的。”

　　如果解丟番圖方程就像買彩票，爲什麼還要在這上面花這麼大力氣呢？

　　數論學家感興趣的是丟番圖方程的性質。例如，目前不存在能夠可靠判斷任意給定的丟番圖方程是否有解的數學方法。有數學家認爲，當 k 除以 9 的餘數爲 4 或 5 的時候，方程 k = x + y + z 無解（例如當 k=32，32=9x3+5，這時候方程無解）。這個猜想已經通過了初步檢驗，但是目前還未得到嚴謹的證明。

　　丟番圖方程的解必須爲整數，並且不同 k 值對應的解十分隨機和分散，對相差不大的 k 值（例如 29 和 33），可能一個能輕鬆地找到一組較小的解，另一個對應的解的數字卻極其龐大。Browning 說：“這個代數結構有着豐富的內涵，隱藏着和丟番圖方程毫無關係的其它數學問題，並且能夠模擬計算機。”

　　丟番圖方程的衍生問題——費馬大定理在提出三百多年後終於被英國數學家 Andrew Wiles 證明，他因此獲得了 2016 年阿貝爾獎。不知道 k = x + y + z 問題的下一個突破又會發生在什麼時候呢？

　　參考來源

　　https://www.quantamagazine.org/sum-of-three-cubes-problem-solved-for-stubborn-number-33-20190326/

　　https://www.sciencealert.com/fiendishly-simple-math-problem-gets-new-solution-after-puzzling-world-for-centuries

　　https://www.youtube.com/watch?v=wymmCdLdPvM

　　https://www.youtube.com/watch?v=ASoz_NuIvP0&feature=youtu.be

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

　　《環球科學》2019年4月刊現已上市