【「數」你好看】期望E(X)與方差Var(X)

隨機變數(Random Variable)X是一個映射，把隨機試驗的結果與實數建立起了一一對應的關係。而期望與方差是隨機變數的兩個重要的數字特這。

期望(Expectation, or expected value)是度量一個隨機變數取值的集中位置或平均水平的最基本的數字特徵；

方差(Variance)是表示隨機變數取值的分散性的一個數字特徵。 方差越大，說明隨機變數的取值分布越不均勻，變化性越強；方差越小，說明隨機變數的取值越趨近於均值，即期望值。

離散型隨機變數：

期望： $E(X)=sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}$

方差： $D(X)=sum_{i=1}^{n}left[x_{i}-E(X) ight]^{2} p_{i}$

連續型隨機變數：

期望： $E(X)=int_{-infty}^{infty} x f(x) mathrm{d} x$
方差： $D(X)=int_{-infty}^{infty}[x-E(X)]^{2} f(x) mathrm{d} x$

一、期望和方差的運算性質

期望運算性質：

（1）E(c)=c，其中c是常數；
（2）；（3）；（4）；（5）設X，Y是相互獨立的隨機變數，則有。

註：上述公式都可以根據期望的定義運算可得，下證(5)：

$E(XY)=sumlimits_{1leq i,jleq n}x_iy_jP(x=x_i,y=y_j)=sumlimits_{1leq i,jleq n}x_iy_jP(x=x_i)P(y=y_j)$

$=sumlimits_{1leq ileq n}x_iP(x=x_i)(sumlimits_{1leq jleq n}(y_jP(y=y_j))=sumlimits_{1leq ileq n}x_iP(x=x_i)E(Y)$

$=E(Y)cdotsumlimits_{1leq ileq n}x_iP(x=x_i)$

2. 方差的運算性質：

（1），其中c是常數；
（2） $D(c X)=c^{2} D(X)$ ，其中c是常數；（3），其中a為常數；（4） $D(c X+a)=c^{2} D(X)$ ，其中a,c是常數；（5）設X，Y是相互獨立的隨機變數，則 .

註：上述公式都可以根據方差的定義運算可得，下證（5）：

得證，上述推導還是藉助了期望運算性質（5）。

要注意的是無論是還是，當X，Y相互獨立時，都是 。

3. 期望與方差的聯繫：

$D(X)=Eleft(X^{2} ight)-[E(X)]^{2}$

下證上述公式：

$egin{aligned} D(X) &=E[X-E(X)]^{2}\&=Eleft[X^{2}-2 X cdot E(X)+(E(X))^{2} ight] \ &=Eleft(X^{2} ight)-2 E(X) cdot E(X)+[E(X)]^{2}\&=Eleft(X^{2} ight)-[E(X)]^{2} end{aligned}$

註：在計算離散型隨機變數的方差時可以藉助這個公式來簡化運算。

二、抽樣分布

設是獨立同分布的，滿足 $Eleft(X_{i} ight)=mu, Dleft(X_{i} ight)=sigma^{2}, i=1,2,3, cdots, n$

則隨機變數 $overline{X}=frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，滿足 $E(X)=mu, D(overline{X})=frac{sigma^{2}}{n}$ 。

下證：

$E(overline{X})=Eleft(frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_{i} ight)=frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} Eleft(X_{i} ight)=frac{1}{n} cdot n{mu}=mu$

$D(overline{X})=Dleft(frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} X_{i} ight)=frac{1}{n^{2}} sum_{i=1}^{n} Dleft(X_{i} ight)=frac{1}{n^{2}} n sigma^{2}=frac{sigma^{2}}{n}$