高等代數|複習提綱（1）——矩陣與方程組

大家好！有沒有一點意外？怎麼突然出現了高等代數？

事實上，這是一篇為廈門大學18級新生準備的文章，是一篇針對林亞南老師《高等代數》前兩章，也就是新生期中考試內容的複習提綱。因此這一篇文章會以專題的形式出現，同時也會以概括為主，幾乎不會給出任何定理或性質的證明細節。當然，如果其它的人也覺得這文章寫的很好，能夠賞眼看完，點個贊，那可真是再好不過了。

那我們開始吧

1.數域

注意數域的算術封閉性，抽象出來就是一個域，主要的性質會在《抽象代數》中介紹。只需要知道是最小的數域，並且會驗證數域即可。例子見P2

2.矩陣與運算

矩陣存在的最初意義就是解線性方程組。一般形式見P3。對應的矩陣為係數矩陣。如果矩陣最後一列添加了得數，那麼它就變成了一個增廣矩陣。

矩陣的相加就是對應位置的元素相加。它滿足加法交換律，結合律等，見P4

矩陣的乘法要麻煩些，新的相乘矩陣的第行第列就是原來左矩陣的第行乘上右矩陣的第列的對應元素。比方說如果 $A= egin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \ a_{21}&a_{22}end{bmatrix},B= egin{bmatrix}b_{11} & b_{12} \b_{21}&b_{22}end{bmatrix}$ ，那麼的第1行第1列就是 $a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}$ 。

根據這個規則，做乘法就要注意：前一個矩陣的列數要等於後一個矩陣的行數。自然對於矩陣來說，，即交換律不成立。也是因為這個，所以矩陣的乘法是區分左乘和右乘的，這和數的乘法有很大的不同。

消去律也是不成立的（不過也有成立的可能，之後說）。不過結合律和數乘的交換律還是成立的。

單位矩陣可以理解為數裡面的，所以可以有。但是作為新手最好先不要這麼記，因為左右式子的單位陣不是一個東西。比方說如果是m行n列，那麼左邊就是右邊則是。

矩陣的轉置就是把原來矩陣的對應行轉為對應列。它滿足線性性，數乘不變性等(P9)，不過和一般的結果不一樣的是，這可能會有點陌生。

這一節的例5(P9)是一個不錯的習題，它告訴我們在對一個矩陣做乘冪運算的時候，先想辦法分出一些比較規整的部分。而不是直接硬算。

最後，如果你在一個題目中看到了諸如這樣的表示，並且都是列向量的話，這就是一個數，所以可以把它整個提到前面去。具體可以看下面這個例子

Example 1:
設 $alpha^Talpha=frac1n$ ，證明

3.分塊矩陣

分塊矩陣的目的就是把一個矩陣內部的元素按照行列進行分區，使得矩陣內的每一個元素還是一個矩陣。並滿足加法和數乘運算性質。在進行分塊矩陣運算的時候，基本上可以把每一個分塊出來的小矩陣當成一個數來做。但是做矩陣乘法的時候要注意：雖然乘法的法則不變，但對應矩陣元是否可乘需要小心驗證。

一個容易記錯的地方是分塊矩陣的轉置，記得每一個分塊矩陣也要做一次轉置(P13)。

一個都常用的性質是

（對角元是1*1的元素自然也成立）

根據這個性質，如果你要計算 $A^{2012},A=egin{bmatrix}1 & 0 & 0&0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & -1end{bmatrix}$ (P14)，那麼分塊可以分出一些非零元素，方便計算。

還是因為可乘性，所以常見有下面兩種分塊

$AB=egin{bmatrix}alpha_1 \ alpha_2 \ vdots \ alpha_nend{bmatrix}B=egin{bmatrix}alpha_1B \ alpha_2B \ vdots \ alpha_nBend{bmatrix}$ , $AB=Aegin{bmatrix}B_1 & B_2 & cdots & B_mend{bmatrix}=egin{bmatrix}AB_1 & AB_2 & cdots & AB_mend{bmatrix}$

這相當於按照行進行分塊，按照列進行分塊。這麼分塊的原因就是由矩陣乘法的可乘性所保證的。可以看出來，每一個是一個行向量，而每一個是一個列向量。之後接觸到的向量坐標什麼的，多為列向量。

書上P16的例3展示了一種將矩陣方程組轉為矩陣乘法的一個例子。

4.行列式

行列式的關鍵在於計算。注意它的計算一般採用按列展開法（具體可以見書，演算法也是見仁見智）。根據這樣的計算方法，會有下面的性質成立，它們很重要，所以單列在這裡。

Proposition 1:
將行列式的某一列/行乘上常數得到行列式，那麼。Proposition 2:

若的第列/行元為對應第列/行元的和，而其餘元素都相同，那麼。
Proposition 3:交換行列式的兩列/行，行列式改變符號。Proposition 4:將行列式的一列/一行乘上常數加到另一列/行上不改變行列式的值。Proposition 5:行列式轉置後值不變。Proposition 6:上三角，下三角矩陣行列式為對角元素之積。

對於第二個性質，我舉個例子， $egin{vmatrix}3 & 2 & 1 \ 2 & 0 & 0 \ 4 & 5 & 6end{vmatrix} + egin{vmatrix}2 & 1 & 1 \ 2 & 0 & 0 \ 4 & 5 & 6end{vmatrix}=egin{vmatrix}3+2 & 2+1 & 1+1 \ 2 & 0 & 0 \ 4 & 5 & 6end{vmatrix}$

行列式的計算還是很有技巧的，這一塊輔助的參考書都會有給出大量的習題，書上的例4，例5，例6，以及爪型行列式等，都是很重要的行列式計算的例題。相信老師也有補充。一般來說，如果套路無法應用，那麼就記住對於一個陌生的行列式，一定要消出儘可能多的0，再計算。

另外，請盡量記住Vandermonde（范德蒙德）行列式，(P30)它在以後的學科中會大量出現。

不如這裡留一個好玩的例子吧：

Example 2
計算 $egin{vmatrix}x & y & z & w \ y & x & w & z \ z & w & x & y \ w & z & y & xend{vmatrix}$

5.行列式的展開式與Laplace定理

你會算逆序數，你就知道展開式怎麼算。不過實際的行列式計算中，代數餘子式方法還是會主流。

也許好多人會迷惑Laplace定理應該怎麼用，書上給了一個4階行列式的例子 $egin{vmatrix}1& 2 & -1 & 2\ 3 &0 & 1 & 5 \ 1 & -2 & 0 & 3 \ -2 & -4 & 1 & 6end{vmatrix}$ 。它和代數餘子式的計算方法類似，只是代數餘子式只需要每一次取一行/列，Laplace定理則可以取多行/列。比如說我可以取定2，3行，那麼還需要取定其中的2列。這一共有6種情況，所以把這六種情況的值加在一起就行了。比方說你取了第1，2列，那麼取出來的元素就是 $egin{vmatrix}3 & 0 \ 1 & -2end{vmatrix}$ ，然後計算對應的行列數，再去掉第2，3行和第1，2列，可以得到的是 $egin{vmatrix}-1 & 2 \1 & 6end{vmatrix}$ ，所以這一項結果就是 $(-1)^8egin{vmatrix}3 & 0 \ 1 & -2end{vmatrix}egin{vmatrix}-1 & 2 \ 1 & 6end{vmatrix}$ 。

一個應用是P40的習題2，比如說我要計算 $egin{vmatrix}A & C \ 0 & Bend{vmatrix}$ ，是階方陣，是階方陣。那麼這樣的話自然考慮取最後行，這是因為我取定後，無論取哪列，除了，其餘形成的方陣的行列式都為0（因為一定有一列元素全部是0）。所以這個結果就是。

6.可逆矩陣

如果一個矩陣是可逆的，那麼，一般記它的逆矩陣為 $A^{-1}$ 。

可逆矩陣也具有很多一般的性質(P41)，其中唯一性是一定要會證明的。

有了可逆之後，消去律就可以滿足了。意思是說

如果，可逆，那麼。

這是解很多矩陣方程的依據。

一個重要的性質是，其中是伴隨矩陣。它多出現於計算中。

你應該知道什麼是伴隨矩陣吧？不知道的話就得趕緊回去看筆記啦。

實際的需要驗證可逆的題目中，如果無法驗證，那就考慮看是否可以找到一個矩陣 使得。比如說下面這個例子

Example 3:
可逆，證明 $A^{-1}+B^{-1}$ 可逆。

實際上就是一個「湊」，注意到

$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(E+AB^{-1})=A^{-1}(BB^{-1}+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}$

即可。你還可以看P42的例2，P44的習題3了解細節。

通過這個就可以了解到解線性方程組的Cramer法則。見書P43，注意這些性質對於以後的課程來說非常重要。

7.初等變換與初等矩陣，矩陣的秩

這一節的重點就在於熟悉三個變換矩陣——互換，倍法和消法矩陣。當然小心計算也很重要啦。

經過初等變換後矩陣的秩不會發生改變（行列式在某些情況下也不變）。所以利用初等變換，你可以很容易的計算出矩陣的秩（P55，例2）。

初等變換還可以比較容易的計算小的階數的矩陣的逆。有的時候給定一個矩陣方程，你也可以通過求逆的方法得到解，再用初等變換（P49，例2;P51，例4）。

很多同學可能不熟悉的是書上的P52，例6

Example 4:
設是的矩陣，是的矩陣，那麼

很多人不知道兩個式子是怎麼來的。其實我們如果把左右兩個式子的行列式對應矩陣當成數的話，它們就很像是 $egin{bmatrix}E & A \ B & Eend{bmatrix}$ 。而初等變換不改變行列式的值，所以可以考慮初等變換，把矩陣變成一個廣義上三角/下三角矩陣，就可以通過分塊矩陣的行列式計演算法則（Laplace定理）來計算行列式的值了。

我們先考慮行變換，注意都是有意義的，所以可以考慮第一行左乘，這是為了消去第二行的。所以這樣就可以得到

$egin{bmatrix}E & A \ B & Eend{bmatrix} sim egin{bmatrix}E & A \ 0 & E-BAend{bmatrix}$

（注意，兩個的階數是不一樣的，右下角的實際上的矩陣是，新手剛開始不要寫的這麼簡單233）

同樣的，我也可以在第二行左乘一個加到第一行上。所以可以有

$egin{bmatrix}E & A \ B & Eend{bmatrix} sim egin{bmatrix}E-AB & 0\ B & Eend{bmatrix}$

所以這兩個等式取行列式即可證明結論。

我們通過這個例子來說明矩陣乘法與初等變換的聯繫。注意到第一個變換，它相當於是「保持了第一行不變，而第二行加了乘上第一行的矩陣」，所以實際上相當於左乘了一個矩陣

$egin{bmatrix}E & 0 \ -B & Eend{bmatrix}$

第二個同理可以得到對應的變換矩陣，這就是書上兩個等式的由來。

運用同樣的方法，試著做一下下面這個題（P53，習題6）

Example 5:
計算 $egin{vmatrix}a_1^2 & a_1a_2+1 & cdots & a_1a_n+1 \ a_2a_1+1 & a_2^2 & cdots & a_2a_n+1 \ vdots & vdots & & vdots \ a_na_1+1 & a_na_2+1 & cdots & a_n^2end{vmatrix}$

為了加深印象，我再提供一個例子解釋這種理解。

Example 6:
用初等變換法解釋 $egin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4end{bmatrix}A$

它的意思就是：「新的矩陣的第一行是的第一行*1加上的第二行*2，新的矩陣的第二行是的第一行*3加上的第二行*4」。其實每一句話都對應了一個初等變換的矩陣。

同樣的，根據初等變換的性質，我們還可以得到下面這個很重要又很常用的性質

Proposition 7:
對於任意一個矩陣，都存在可逆矩陣使得 $A=Pegin{bmatrix}E_r & 0 \ 0 & 0end{bmatrix}Q$ ，。

實際情況中，我們經常會使用這個性質解決一些存在性的證明題。比如P56的習題5，歷年來的期中考試也是幾乎每一年都會出現一道這種類型的題，可以都做做積攢經驗。

哦對了，如果我們假設運算合理，你看看如何使用初等變換，解決這個問題。

Example 7:
計算 $egin{vmatrix}A & B \ C & Dend{vmatrix}$

在這學期的《回歸分析》中，這個矩陣的行列式經常出現。

8.消元法

這一部分的要點和第7個部分一樣：小心計算。你只需要用初等變換（注意，這個地方只能使用行初等變換）算好增廣矩陣的簡化階梯型，然後使用書上P61,62的定理和推論即可。當然要計算的時候，如果矩陣有未知元，需要注意變換的時候，會不會有運算不合法的情況（比如分母為0）。

有的時候需要解的是一般性的線性方程組，這個時候往往需要計算係數矩陣的行列式來判斷是否有解（P63，例3）。這個時候就需要回顧行列式的各種計算方法了。

9.n維列向量

這一節最最重要的就是弄清楚到底什麼是線性相關和線性無關。

我們在高中學過向量，也學過它的一些基本幾何意義。大家應該不會對正交分解這個詞感到陌生。數學上來說，如果我們設，那麼實際上就是，其中。在空間解析幾何中，類似的我們也會有一個正交分解。

在高代中，我們對維數和這樣的現象作了解釋和推廣。比方說正交分解，其實本質就是：任何一個向量都可以由幾個相互正交的向量坐標表示。所以完全可以說他們是「線性組合的」，這也是有關線性組合的名字的由來。

Definition 1:linear representation
對於向量組與向量，若存在常數，使得，則稱為向量組的線性組合，稱可以被這個向量組線性表出。

這裡指的是數域。

所以，如果你把每一個向量寫成列向量的形式，那麼上面的定義歸根到底就是一個線性方程組的求解問題。而線性方程組的求解是第8個部分的內容，所以我們自然可以解決這個問題。具體可以見P66。

根據這個定義我們提出了線性相關與線性無關的概念。

Definition 2:linear dependence, linear independence

如果存在不全為0的數使得，那麼稱向量組線性相關，否則線性無關。

注意等式右邊的0其實是零向量的意思。

所以線性相關的意思是：這個向量組中的信息有冗餘，因為存在一個向量可以被另外的向量線性表示（這是P70，定理2.2.7的內容），所以這個向量其實存在不存在區別都不大，因為我使用剩下的向量也可以「產生出」這個向量。如果你解線性方程組的話，這個時候係數矩陣也不可能是滿秩的，也是想說明這個。

判斷一個向量組是否線性無關的一個最最常用的證明思想是

設，然後判斷是否每一個係數為0。

書上定理2.2.2的證明以及P69，例2都是用這個思想說明的。其中書上定理2.2.2的內容是

Proposition 8:
設，那麼表示法唯一的充要條件是線性無關。

實際上，根據線性方程組的思想，我們還可以得到下面的定理(P68，定理2.2.4)

Proposition 9:
設，記，那麼線性無關的充要條件是線性方程組只有零解。線性相關的充要條件是有非零解。

10.向量組的秩

這一節的關鍵是等價和極大線性無關組的概念，根據這些概念才提出了向量組的秩。

等價的意思就是兩個向量組可以互相表出。等價本身也是一個等價關係（滿足反身性，對稱性，傳遞性），所以如果要驗證等價，其實就是要驗證任意一個向量組的每一個向量都可以被另一個向量組的向量線性表出。

一個重要的定理是

Proposition 10:
如果向量組可以由向量組線性表出，且，那麼線性相關。

這個話的意思就是：如果一個向量組的個數比另外一個少，結果這另外一個向量組還被線性表出了，那麼這另外一個向量組就不可能是線性無關的了。

如果要證明，其實使用的思想是比較簡單的（雖然P72的證明過程初看會讓人覺得有些複雜）。剛開始先設看能不能找到一串非零的係數，然後根據「向量組線性表出」，再設出一大堆的係數。兩個式子聯立得到一個方程組，研究這個線性方程組是否有解即可。

所以定理2.3.3，推論2.3.4也就很好理解了。

Proposition 11:
如果向量組可以由向量組線性表出，那麼 Proposition 12:等價的向量組的秩相等。

如果涉及到矩陣，那麼會有行秩和列秩的概念。我們可以還可以通過行初等變換看出列向量之間的線性關係（注意一下，這個地方的意思是行初等變換不會改變列向量組的線性關係，但是如果作列初等變換就會改變，那自然就無法看出相互之間滿足什麼樣的線性關係了），通過列初等變換看出行向量之間的線性關係。注意不要弄混了，具體可以看P76，例1和P76的例2。

這一塊還有一些秩的不等式。大部分都是記結論為主。但是P77的例6是一個很重要的題，因為它的思想是通過矩陣的初等變換將矩陣化歸成為對角分塊矩陣。進而利用矩陣的等式解決秩的關係。這個題目是這樣的。

Example 8:
設是階方陣，那麼的充要條件是。

同樣，這也幾乎是每一年都會出一道這樣的題目，所以可以重點關注一下。

11.線性方程組解的結構

在第8個部分中，我們介紹了線性方程組的消元法，並且也有很多秩與解的個數的性質定理。零解和唯一解的情況已經確定，問題是針對無窮多解的情況，各個向量之間也是有密切關係的。

書上P79-80也說得比較清楚，但是稍顯複雜，我們這裡用P81的例1舉例子說明這種類型的習題的方法。

Example 9:
求解線性方程組： $egin{cases} x_1 + 3x_2-2x_3+4x_4+x_5 = 0 \ 2x_1+6x_2+5x_4+2x_5=0 \ 4x_1+11x_2+8x_3+5x_5=0 \ x_1+3x_2+2x_3+x_4+x_5=0 end{cases}$

我們可以用初等變換法把矩陣做如下的變換

$egin{bmatrix}1 & 3 & -2 & 4 & 1 \ 2 & 6 & 0 & 5 & 2 \ 4 & 11 & 8 & 0 & 5 \ 1 & 3 & 2 &1 & 1end{bmatrix} sim egin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -frac{19}2 & 4 \ 0 & 1 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 0 & 1 & -frac34 & 0 \ 0 & 0 & 0 &0 & 0end{bmatrix}$

這個矩陣的秩為3，但是方程組有5個未知數，所以一定會有2個向量是基礎解系。因此我們的演算法就是在最後這兩列向量中，每一個取負，並分別在列上拼接上 $egin{bmatrix}1 \ 0end{bmatrix},egin{bmatrix}0 \ 1end{bmatrix}$ 。這樣的話相當於得到了最後的解為，其中 $eta_1=egin{bmatrix}frac{19}{2} \ -4 \ frac34 \ 1 \ 0end{bmatrix},eta_2=egin{bmatrix}-4 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1end{bmatrix}$ 。