數理經濟學工具箱：一、不確定性

【CH1.範圍】

本系列文章旨在歸納、總結在數理經濟學

（不是高級計量經濟學）中使用頻率最高的主流數學工具（注意並非全部數學工具）。

包括以下幾個方面：

1.不確定性經濟學

常用的隨機差分方程和隨機微分方程

、哥薩諾夫定理。

2.動態系統

流形與切叢的概念、動態系統的概念、證明流形上動態系統均衡的存在性、穩定性、唯一性的數學工具

3.最優化理論

函數方程分析基礎、動態規劃

的使用方法、本維尼斯特-沙因克曼定理的證明、隨機控制與卡爾曼濾波

【CH2.不確定性】

這篇文章主要介紹處理不確定性經濟學的數學工具。

面對隨機差分方程，經常需要處理隨機變數構成的無窮級數。實變函數中的單調收斂定理和控制收斂定理是我們求取隨機變數無窮級數期望值的重要工具，現示範如下：

一個簡單的MA過程：

$X_{t}=sum_{j=-infty}^{infty}{a_{j}varepsilon_{t-j}}$

$EX_{t}=Esum_{j=-infty}^{infty}{a_{j}varepsilon_{t-j}}$

由於 $left| sum_{-infty}^{+infty}{}a_{j}varepsilon_{t-j} ight|leq sum_{-infty}^{+infty}{left| a_{j}varepsilon_{t-j} ight|}$

我們只要證明上式不等號右邊的式子是控制函數（即它的無條件期望值是有限的），我們就可以運用DCT（控制收斂定理），從而可以把期望運算元放到無窮求和號裡面。

如是，則可得：

$EX_{t}=E sum_{j=-infty}^{infty}{a_{j}varepsilon_{t-j}}=sum_{-infty}^{+infty}{Ea_{j}varepsilon_{t-j}}=0$

所以我們只需要證明：

$Esum_{-infty}^{+infty}{left| a_{j}varepsilon_{t-j} ight|}precinfty$

即可。注意到這是一串遞增型非負隨機變數和，利用單調收斂定理易證上式成立。

現定義隨機序列 $left{ w_{t} ight}$ 是一個相應於信息集 $left{ I_{t} ight}$ 的條件同方差+鞅差分序列。所謂信息集，是包含了所有 $left{ x_{0},w_{1},w_{2},... ight}$ 的可測函數生成的。 $left{ x_{t} ight}$ 是一個維狀態變數。迭代得到線性隨機差分方程：

$x_{t+1}=Ax_{t}+Cw_{t+1}$

預測，就是基於隨機差分方程來計算均衡。令 $E_{t}$ 表示基於時刻信息的條件期望，則最優線性預測為：

$E_{t}x_{t+1}=Ax_{t}$

同時基於 $I_{t}$ 的條件協方差矩陣為 $CC^{}$

我們還可以將該VAR過程轉變為VMA過程:

$x_{t}=Ax_{t-1}+Cw_{t}= A^{2}x_{t-2}+ACw_{t-1}+Cw_{t}=...$

從而通解為 $x_{t}=sum_{j=0}^{t-1}{A^{j}Cw_{t-j}}+A^{t}x_{0}$

移動平均的形式顯式地表達l了脈衝響應函數。

考慮矩陣的Jordan分解 $A=TDT^{-1}$

令 $x_{t}^{*}=T^{-1}x_{t}$

則方程變為 $x_{t+1}^{*}=Dx_{t}^{*}+T^{-1}Cw_{t+1}$

由於Jordan矩陣是一個分塊矩陣，我們實現了系統的解耦。根據Jordan矩陣的性質，設 $delta_{j}$ 為的特徵值，只要 $left| delta_{j} ight|$ 小於1，則隨機差分方程是穩定的。

下面考慮隨機微分方程：

一種常見的隨機微分方程是Ornstein-Uhlenbeck過程，可以證明（詳見《期權、期貨及其他衍生產品》第21章），GARCH（1，1）模型可以與該過程等價。

$(1) dX_{t}=-mu X_{t}dt+sigma dW_{t}$

變形得 $e^{mu t}left( dX_{t}+mu X_{t} dt ight)=sigma e^{mu t}dW_{t}$

即 $dleft( X_{t} e^{mu t} ight)=sigma e^{mu t}dW_{t}$

兩邊積分得 $X_{t}=X_{t_{0}}e^{mu (t_{0}-t)}+int_{t_{0}}^{t}sigma e^{-mu(t-s)}dW_{s}$

此外，平方根過程也是數理經濟學、金融數學中經常用到的一種隨機微分方程。其形式為：

$（2）dr_{t}=alphaleft( mu-r_{t} ight)dt+sigmasqrt{r_{t}}dW_{t}$

其中均為正的常數。

由於在經濟學研究中經常遇到這一類方程，我們不妨單獨拎出來研究下它。

首先根據觀察可知，它同Ornstein-Uhlenbeck過程一樣具有均值回復特徵。這是顯然的。這篇短文的主要目的就是要得到該隨機過程的條件期望與條件方差。

首先，我們介紹一個有用的引理：

引理：設 $X_{t}$ 是一個Ito過程，則 $frac{dE(X_{t})}{dt}=frac{Eleft( dX_{t} ight)}{dt}$

我們對（2）兩邊取期望： $Eleft( dr_{t} ight)=alphaleft[ left( mu-Er_{t} ight) ight]dt$

從而 $dleft( Er_{t} ight)=alphaleft[ left( mu-Er_{t} ight) ight]dt$

邊界條件為 $Er_{0}=r_{0}$

令 $y=Er_{t}-mu$ 則通過對前式簡單變形，我們可以得到：

簡單化簡，我們就得到了第一個結果 $Er_{t}=mu+Ce^{-alpha t}$

結合邊界條件，知： $Er_{t}=mu+left( r_{0}-mu ight)e^{-alpha t}$

接下來，運用Ito公式，可以得到：

$dr_{t}^{2}=left[ 2alpha r_{t} left( mu-r_{t} ight) ight]dt+sigmasqrt{r_{t}}dW_{t}$

所以再由引理，知： $frac{Edr_{t}^{2}}{dt}=frac{dleft( Er_{t}^{2} ight)}{dt}=left( 2alpha mu+sigma^{2} ight)Er_{t}-2alpha Er_{t}^{2}$

將 $Er_{t}$ 的結果代入上式，就可以得到一個關於 $Er_{t}^{2}$ 的常微分方程，不難，解出即可得

$Er_{t}^{2}=r_{0}e^{-2alpha t}+r_{0}left( frac{sigma^{2}}{alpha} +2mu ight)left( e^{-alpha t}-e^{-2alpha t} ight)+left( frac{ sigma^{2}}{2alpha}mu+mu^{2} ight)left( 1-e^{-alpha t} ight)^{2}$