為什麼秩為1的矩陣可以寫成1列乘1行的情形呢？
為什麼秩為1的矩陣可以寫成1列乘1行的情形呢？不是很懂，希望大家幫忙證明一下，謝謝大家！
不光是秩為1的情況，秩為k的情況下，m行n列的矩陣都可以分解成m行k列矩陣和k行n列矩陣的乘積。證明也很簡單，n個列向量張成的線性空間任取一組基作為m行k列矩陣，再將原來的n個列向量分解到基底，相應坐標作為k行n列的矩陣，則它們的乘積就是m行n列矩陣，這就是矩陣乘法的一種意義——基底變換。
來寫個通俗易懂的答案。
矩陣的秩為 1，就是說各行之間都成比例。也就是說，每一行都等於某個非零行整體乘以一個係數。
那麼，把這些係數排成一個列向量，把那個非零行當成行向量，可以驗證，二者相乘就等於原來的矩陣。
設矩陣 ，其中
是
對角化後的矩陣. 因
，故
的非零元素只存在於：
令 必有
代入初始矩陣方程
於是 可以被新的向量
與
表示.
以三維矩陣為例。
秩為1的矩陣 ，其列向量組的秩也為1，也就是說可以用一個列向量的不同倍數表示任何一列，比如說用第一列表示為
其中 是常數，
是三行一列的列向量。根據矩陣的乘法法則，易得
這正是一列乘一行的情形。
一個構造性的證明：
任何秩為1的矩陣A，都可以通過初等行列變換，變成E11，也就是左上角元素是1，其餘元素是0的矩陣。E11可以寫成(1,0,...,0)*(1,0,...,0)，其中表示轉置。
記(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)=(1,0,...,0)。
現在從E11反過來，用初等行列變換還原出矩陣A來。而每一部初等行列變換都可以通過兩個向量(a1,a2,...,an)和(b1,b2,...,bn)的操作來表示。例如，交換第i行和第j行，就是把ai和aj交換位置。把第i行的k倍加到第j行，就是把ai的k倍加到aj上去。第i行乘常數c，就是ai變成c*ai。同理，初等列變換就是對(b1,b2,...,bn)這個向量的操作。
因此把E11變成A的過程，構造性地給出了(a1,a2,...,an)和(b1,b2,...,bn)的計算方法。
利用二階子式均為零，得到矩陣中不同位置元素的比例關係
可以參考矩陣的滿秩分解
線性映射 可以分解成滿射
和單射
的複合，
比如 的時候，把
看成是自然投影，它是滿射，並且
，那存在唯一單射F,使得
。直觀上看就是
中的元素a通過
映射到
中元素b,可以通過兩步來實現這個映射，先把a分到b在映射
下的原像所在的類，然後這個類映射到b
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