如何求二元函數 f(x, y)＝sin(x＋y)＋sinx＋siny 的最大值？
給個清爽的證明
我們知道
因此題目可以轉化為，
我們知道 在
上是上凸函數，
因此對於
當 時等號成立。
那麼我們只需證在 時取到最大值即可。
不妨設 ，假設
因此最大值必在 時取到，因此
.
第一次回答數學問題，公式好難打啊，上面這幾行字打了整整一個小時……
我寫一個感覺更高中一點的解法
(留意一下取等號的條件)
這個時候把 看成一個整體，求
最大值
求導，有
取一個周期 ,結合
的單調性，得到
在
上單調增，
上單調減，
上單調增
最大值在 時取得，即
代入，得最大值為
水平有限，錯誤敬請指出，感激不盡。
謝不邀
華羅庚言：「數形結合百般好」，所以我們就用一點幾何知識來解決這個小問題吧。
顯然，
不妨設
顯然
即，ABC是一個三角形的三個頂點。
我們還知道正弦定理
即a,b,c與sinA,sinB,sinC成正比如果內接圓半徑相等，那麼比值相等。
所以我們可以將問題轉化為，對於一個半徑固定的圓，它的內接三角形的周長哪個最長。
根據我們數學多年的學習養成的直覺，這種問題的答案肯定是
圓內接三角形中，最對稱的，最美麗的等邊三角形是周長最長的三角形。
如果要證明這個問題，我們不妨先將其簡化。
如上圖，點BC是圓E上任意兩點，當且僅當AB=BC時，三角形ABC的周長最長，證明如下：
不妨取A，使得AB=AC，取點D不與A重合，現在過A做AH⊥BD，AG⊥CD，易知AD平分∠BDG，於是AH=AG，顯然有三角形ABH≌三角形ACG （這個變數名不是我特意湊的欸）即BH=CG，那麼，
BD+CD=BH+DH+CG-DG=2BH，而AB+AC=2AB
顯然AB&>BH，即三角形ABC的周長&>三角形DBC的周長。
於是，對於一個三角形，隨意確定兩個頂點，都有當另一個頂點構成等腰時，周長最長，那麼綜合起來一定是，等邊三角形周長最長。
回歸到問題上，我們知道當A=B=C=60時，式子取最大值，那麼最大值很容易求得就是 。
,
於是,
,
或
當 時,
,
,
當 時,
,
,
,
,
比較可得, 的最大值為
（這裡運用了
不等式）
可得
(等號可取得的一個條件為
)
綜上
等價於求圓內接三角形周長的最大值.
a
感興趣的數值計算，使用6種方法計算局部最優解！
1、使用二元的遺傳演算法求解
最優解：
X =
7.3100
Y =
32.5000
Fxy =
2.5972
計算程序：
Chenglin Li：最優化方法（十）遺傳演算法求二元函數的極值?zhuanlan.zhihu.com
2 變度量DFP演算法求無約束的最優問題
初值給定[1, 1], 求解結果：
程序嘗試迭代次數：3
最優解：1.047197 ,1.047197
最優目標函數值：y=2.598
計算程序：
Chenglin Li：最優化方法（四）變度量法演算法（DFP）求解無約束問題?zhuanlan.zhihu.com
3 變度量BFGS演算法求無約束的最優問題
- 初值給定[1, 2], 求解結果：
程序嘗試迭代次數：6
最優解：1.047225 ,1.047063
最優目標函數值：y=2.598
- 計算程序：
Chenglin Li：最優化方法（七）變度量法演算法（BFGS）求解無約束問題?zhuanlan.zhihu.com
4 最速下降法
- 初值給定[2, 2], 求解結果：
The result is:
最優解：1.047198 ,1.047198
最優目標函數值：y=2.598
計算程序：
Chenglin Li：最優化方法（二）最速下降法求目標函數最小值?zhuanlan.zhihu.com
5 使用Newton法解無約束最優化問題
- 初值給定[1, 1], 求解結果：
程序嘗試迭代次數：2
最優解：1.046674 ,1.046674
最優目標函數值：y=2.598
- 計算程序
Chenglin Li：最優化方法（八）使用Newton法解無約束最優化問題?zhuanlan.zhihu.com
6 共軛梯度演算法（FR）求解無約束問題
- 初值給定[1, 1], 求解結果：
程序嘗試迭代次數：3
最優解：1.047197 ,1.047197
最優目標函數值：y=2.598
- 計算程序
Chenglin Li：最優化方法（三）共軛梯度演算法（FR）求解無約束問題?zhuanlan.zhihu.com
——2021.03.03晚——
x，y是獨立的 同時x，y是對稱的，所以取最大值是x，y相等的。
然後就是sin2x+2sinx了一個。
形式上看起來非常對稱，從概率論的角度可以嘗試直接代入x=y
是不是可以另y=k x去消除一個變數，然後去求極限呢？
一個取巧的方法就是這種輪換對稱式只需取x=y然後按一元函數求最值的方法求出來的結果就是答案，大多數這種題這樣都蒙對
利用二元函數求極值的方式 先求駐點 然後再用ABC進行檢驗 最後的結果是3倍根號3/2
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