如何求二元函数 f(x, y)=sin(x+y)+sinx+siny 的最大值?
给个清爽的证明
我们知道
因此题目可以转化为,
我们知道 在 上是上凸函数,
因此对于
当 时等号成立。
那么我们只需证在 时取到最大值即可。
不妨设 ,假设
因此最大值必在 时取到,因此 .
第一次回答数学问题,公式好难打啊,上面这几行字打了整整一个小时……
我写一个感觉更高中一点的解法
(留意一下取等号的条件)
这个时候把 看成一个整体,求
最大值
求导,有
取一个周期 ,结合 的单调性,得到
在 上单调增, 上单调减, 上单调增
最大值在 时取得,即
代入,得最大值为
水平有限,错误敬请指出,感激不尽。
谢不邀
华罗庚言:「数形结合百般好」,所以我们就用一点几何知识来解决这个小问题吧。
显然,
不妨设
显然
即,ABC是一个三角形的三个顶点。
我们还知道正弦定理
即a,b,c与sinA,sinB,sinC成正比如果内接圆半径相等,那么比值相等。
所以我们可以将问题转化为,对于一个半径固定的圆,它的内接三角形的周长哪个最长。
根据我们数学多年的学习养成的直觉,这种问题的答案肯定是
圆内接三角形中,最对称的,最美丽的等边三角形是周长最长的三角形。
如果要证明这个问题,我们不妨先将其简化。
如上图,点BC是圆E上任意两点,当且仅当AB=BC时,三角形ABC的周长最长,证明如下:
不妨取A,使得AB=AC,取点D不与A重合,现在过A做AH⊥BD,AG⊥CD,易知AD平分∠BDG,于是AH=AG,显然有三角形ABH≌三角形ACG (这个变数名不是我特意凑的欸)即BH=CG,那么,
BD+CD=BH+DH+CG-DG=2BH,而AB+AC=2AB
显然AB&>BH,即三角形ABC的周长&>三角形DBC的周长。
于是,对于一个三角形,随意确定两个顶点,都有当另一个顶点构成等腰时,周长最长,那么综合起来一定是,等边三角形周长最长。
回归到问题上,我们知道当A=B=C=60时,式子取最大值,那么最大值很容易求得就是 。
,
于是, , 或
当 时, , ,
当 时,
, ,
, ,
比较可得, 的最大值为
(这里运用了 不等式)
可得
(等号可取得的一个条件为 )
综上
等价于求圆内接三角形周长的最大值.
a
感兴趣的数值计算,使用6种方法计算局部最优解!
1、使用二元的遗传演算法求解
最优解:
X =
7.3100
Y =
32.5000
Fxy =
2.5972
计算程序:
Chenglin Li:最优化方法(十)遗传演算法求二元函数的极值?zhuanlan.zhihu.com2 变度量DFP演算法求无约束的最优问题
初值给定[1, 1], 求解结果:
程序尝试迭代次数:3
最优解:1.047197 ,1.047197
最优目标函数值:y=2.598
计算程序:
Chenglin Li:最优化方法(四)变度量法演算法(DFP)求解无约束问题?zhuanlan.zhihu.com3 变度量BFGS演算法求无约束的最优问题
- 初值给定[1, 2], 求解结果:
程序尝试迭代次数:6
最优解:1.047225 ,1.047063
最优目标函数值:y=2.598
- 计算程序:
Chenglin Li:最优化方法(七)变度量法演算法(BFGS)求解无约束问题?zhuanlan.zhihu.com
4 最速下降法
- 初值给定[2, 2], 求解结果:
The result is:
最优解:1.047198 ,1.047198
最优目标函数值:y=2.598
计算程序:
Chenglin Li:最优化方法(二)最速下降法求目标函数最小值?zhuanlan.zhihu.com5 使用Newton法解无约束最优化问题
- 初值给定[1, 1], 求解结果:
程序尝试迭代次数:2
最优解:1.046674 ,1.046674
最优目标函数值:y=2.598
- 计算程序
Chenglin Li:最优化方法(八)使用Newton法解无约束最优化问题?zhuanlan.zhihu.com
6 共轭梯度演算法(FR)求解无约束问题
- 初值给定[1, 1], 求解结果:
程序尝试迭代次数:3
最优解:1.047197 ,1.047197
最优目标函数值:y=2.598
- 计算程序
Chenglin Li:最优化方法(三)共轭梯度演算法(FR)求解无约束问题?zhuanlan.zhihu.com
——2021.03.03晚——
x,y是独立的 同时x,y是对称的,所以取最大值是x,y相等的。
然后就是sin2x+2sinx了一个。
形式上看起来非常对称,从概率论的角度可以尝试直接代入x=y
是不是可以另y=k x去消除一个变数,然后去求极限呢?
一个取巧的方法就是这种轮换对称式只需取x=y然后按一元函数求最值的方法求出来的结果就是答案,大多数这种题这样都蒙对
利用二元函数求极值的方式 先求驻点 然后再用ABC进行检验 最后的结果是3倍根号3/2
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