麦克斯韦方程组在数学和物理上到底揭示了什么联系？为什么它也不是完全对称的？

梯度，旋度，散度
电场，磁场
有旋、无旋场，有势、无势场，有源、无源场
线积分，面积分
麦克斯韦方程组

之间到底有什么关系

谢邀。

之所以我对这个问题感兴趣，主要是因为问题的后半部分可能也是很多人想过的：「为什么它也不是完全对称的？」

其实很多人也意识到了，这种「不对称」的根源是自然界不存在磁荷；假设真的存在磁荷与磁流的话，那么麦克斯韦方程组形式上就会变成更为对称的样子（选用自然单位制略掉一些无关紧要的常数）：

自然，这个时候粒子受的总电磁力也就变成

在这种形式下，将、，、，、对换后方程的形式是完全不改变的，这叫做电磁对偶性。

于是问题也就变成了：「为什么自然界不存在磁荷？」

先上结论：

对於单独的粒子，即便我们假设它真的既存在电荷又存在磁荷，但总是在实际物理意义上完全等价为只有大小为的电荷，而磁荷为零；换句话说，很大意义上，「粒子只有电荷而没有磁荷」可以看成是一种习惯上方便的说法而已。这种说法只是数学上不同的描述手段，并不会产生任何实际应用上的区别或误差，更不致影响到实际的物理效应。
反过来说，即便是现在的情况，也可以通过对定义稍加修改而得到无穷多种电荷磁荷共存的理论框架，只不过它们的比值对任何粒子都是一个常数。

下面为了方便讨论，我们采取形式更为紧凑的四维表述。虽然讲清楚微分形式不是几句话的事情，其实严格来讲不该这么草率，不过无伤大雅的情况下我们总可以这样理解：

定义一个矩阵称为电磁形式；

定义一个矢量（4*1矩阵）称为电流形式；

以及矢量（4*1矩阵）称为磁流形式；

名字不重要，其实说这么多只是为了说明，原来有关电磁的一系列物理量的全部信息现在都包含在 、、 这三个符号之中。在四维的语境中， 表示的就是电磁场， 表示一切由电荷电流构成的源， 表示一切由磁荷磁流构成的源。它们还都可以定义各自的对偶，用星号标明。其中（虽然不是但）相当于直接在矩阵中做替换、而已；其他两个的对偶、虽没这么简单，但也是与电荷电流、磁荷磁流有关的。

利用一个特殊的运算「」（外微分），我们可以把原来不含磁荷的四个方程，变换一下写法，写成这样的形式：

这就是麦克斯韦方程组的外微分形式。而假设存在磁荷的形式则是：

这里没必要看懂，只需要从形式上粗略来看看即可。相较而言，方程组的对称与否在这里体现地更加明显。虽然对偶形式之间的关系不是一两句话的事情，但是粗略来看，与的区别无非是、的位置对换而已。很明显，互为对偶的这两者，若是在无磁荷的情况下，则会在同一运算「」下表现出截然不同的性质：术语一点来讲，表明是「闭」的，而显然不是。而若是存在磁荷，那么两者性质就显得非常相似了：一个由电荷电流产生，另一个由磁荷磁流产生；两者又互为对偶，体现了电磁一体的本质。

那么下面我们试著对二元组和做一个有趣的事情：

若我们对用熟悉的角旋转矩阵做变换得到新的二元组，即：

同时，我们也对做的变换得到：

注意到，上面两组联合变换其实已经给出了：

如果你会这些运算的话，不难验证，我们会发现，新的量仍然满足

这说明麦克斯韦方程组在上述这一类与 有关的变换下保持成立。这一类由决定的变换，我们称之为参数为 的对偶变换。还记得上面提到的电磁对偶吗？显然，它正是这里的对偶变换在时候的特例，或者说这里的对偶变换可看作是上面电磁对偶的一种推广。

上面毫无理由的变换看起来很莫名其妙，暂且放下。我们关心的不仅仅是这些形式上的trick；真正重要的是，上面的这种变换，会对于我们的物理观测结果产生影响吗？换句话说，若称和 组成的物理系统为系统1， 和 为系统2，两者对于人类来说，或者对于物理定律来说，是可以分辨的吗？

答案是不能。我们可以不妨尝试计算一下人类测量得到粒子受的总电磁力、电磁场的能量动量张量，以及任何人类可以直接测量的物理量，结果是完全相等的——变换前后既不能产生不同的动力学效应，也不能使时空具有不同的度规，更不能改变物理定律的形式，换句话说任何物理手段无法区分它们；而这其实说明了两个系统根本就是一样的、完全等价的，只是不同的数学描述手段而已。这说明，上面的对偶变换并不产生可观测的效应，仅仅是数学上描述方式的trick，并非是造成实际物理变化的操作。

这个看起来很无聊的结论有什么用呢？关键就在于：对于任何给定的、假设电荷磁荷均存在的场源 来说，总存在著一个确定的参数 （不明白的话就想想它的几何意义——平面旋转）使得变换后的场源成为 ——于是系统就完全等价于只存在电荷与电流，而无磁荷与磁流了！

事实上，通过选取的不同，原则上我们能够得到对同一个系统的无穷多种描述，在这些框架下，完全相同的一个系统被描述为具有不同的电荷与磁荷，甚至包括只有磁荷没有电荷的说法。然而它们之间并无实质的区别——这种不改变物理实质的人为选择的自由度，在物理上叫做规范性质。

这个故事告诉我们，对於单独的粒子，即便我们假设它真的既存在电荷又存在磁荷，但总是在实际物理意义上完全等价为只有大小为的电荷，而磁荷为零；换句话说，很大意义上，「粒子只有电荷而没有磁荷」可以看成是一种习惯上方便的说法。这种说法只是数学上不同的描述手段，并不会产生任何实际应用上的区别或误差，更不致影响到实际的物理效应。

然而其实有一个实际问题在这里：若对于不同种类的粒子组成的体系来说，假若它们的电荷磁荷比不同，则无法找到一个统一的来消除掉磁荷；换句话说，只有所有粒子都具有相同的 值，才会宏观等价为只有电荷而无磁荷的情况。所谓寻找磁荷存在的实验，其实不如说是寻找是否存在不同值的粒子。

那么，所有粒子有相同的值，这可能吗？尽管这种要求听起来好像有点过于强硬，但就目前的实验情况来看，至少我们常见的基本粒子，它们的 值在很高精度下都是相等的。其实这种事情我们并不陌生：想想在关于引力问题的世纪思辨之中，我们也曾经考虑过「是否所有物体的惯性质量和引力质量都具有相同的比值」。就目前而言，这已经是一个精度很高的结论了，并且成为了一个类似于原理一般的存在——等效原理，来支撑著目前我们关于引力理论的考量。它与我们今天的主题这两者是十分相似的：所有粒子的电荷和磁荷都具有相同的比值，正是基于这样的观念，支撑著我们如今对于电磁理论的考量。

最后简单说一下，所谓的参数为的对偶变换，就几何意义而言无非是一个旋转；然而它到底是在哪个空间旋转？

用线性代数的语言通俗来讲，其实我们在数学上，可以认为任何粒子都对应于某个抽象的线性空间中的一个矢量，电荷和磁荷的数值分别是它们在某个正交坐标基下的不同分量坐标；「值相等」意味著这些矢量是互相平行的，而电荷量不同意味著这些矢量的长度不同。而不同的角就意味著我们选取不同的正交基来测量这些分量，自然就会得到不同的坐标数值——也就是说，这个旋转，是抽象空间中正交基的旋转。选取什么基是不影响矢量本身的，也就是不影响粒子本身性质的，那么为了方便，我们总可以选取一个基使得它只有某一分量而另一分量为零，这就是我们已经用了几个世纪的视角：只有电荷而没有磁荷。

给 @木瓜的回答中提到的内容做一些改写。

实际上如果假定磁荷存在，并使用Gauss单位制的话，Maxwell方程组就是对称的：

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