相对论性自由粒子拉氏量为何必须写成以下形式?

以作为参数, 采取度规 ,自由粒子拉氏量为 . 无法从该拉氏量中导出运动方程和广义动量. 只有乘以 ( ), 化为 ,才能得到运动方程.
这里我的疑问是与的物理意义有什么区别? 为什么要乘以一个而不是不乘或乘以更多的?
此外, 如何从微分几何的角度理解拉氏量, 拉格朗日方程以及求偏导?

（惯例：选取单位，度规习惯同题主）

【1】首先，对于题主的给出的Lagrangian ，这个「参数」只能是固有时 （或其它affine parameter，据单位而定），而不是任意的世界线坐标，因此这个和传统意义上泛函积分的参数有所区别。

更适合理解为这种任意世界线坐标的参数是中的参数。我们对做变分，得到运动方程。通过链式法则得到固有时运动方程，或选择得到静止观测者系中的运动方程。（参考最早两位答主的答案。）

注意到，这个参数 任意满足边界条件的可导变换 下，通过链式法则得出是不变的，但任意参数并不是。因为我们的理论不因世界线坐标选取而改变，因此应选取前者。（事实上这是一维微分同胚 不变性，和广义相对论对应的四维微分同胚不变性是类似的思想。）

（*补充，这在弦论里面应该叫做0-brane action。）

【2.1】题主给出的Lagrangian其实也可以是对的，只是少了一项贡献。（类似第三位答主的思路，不过这个formalism更为人熟知。）

引入附属变数einbein ，可构建作用量。^[1]首先，发现运动方程得到反代入该作用量，可推出【1】中的结果。其次，在任意微分同胚变换下可证。我们选取这个变换使得一个待定常数。

当参数选取为固有时，从运动方程可得。当然由于参数选取是任意的，我们也可以选择，此时我们得到的是题主的加上一个常数项，但是常数项不影响经典运动方程。^[2]

（*补充1，在弦论中这个选择相当于conformal gauge。)

（*补充2，对于经典解，固有时有良好定义，这个选择是确定的。但是对于四维时空下的量子传播子，路径积分表象下掠过的固有时需要被积分^[3]，对应积分掉也就是worldline formalism中所谓的Schwinger proper time。^[4]^[5]）

【2.2】另外，通过Legendre transform，在Hamiltonian formalism下作用量为。^[2]可以看出einbein事实上是质壳约束的Lagrange multiplier，这个在Dirac量子化方案中是添加first class constraint的方法。^[6]（这应该也是类似第三个答主的思路。）

（*补充，在弦论语言里这应该是sigma-model action。）

【3】从微分几何角度出发Lagrangian和Hamiltonian分别是切丛和余切丛上的函数。这个是很大的一个领域，不知道你想具体问什么，入门可参考这本书4.4以及10.2节

T. Frankel, The Geometry of Physics?

book.douban.com

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【4】最后，简单搬运给熟悉场论的朋友。还可以通过时空对称性自破缺的coset construction来推导这个单粒子作用量。

点粒子由于存在特定时空位置，因此破坏了空间平移和boost对称性。coset construction告诉我们，破缺对称性的Goldstone场的世界线作用量必由broken subgroup群元的Mauer-Cartan form 中生成元的系数构成的unbroken subgroup不变数。

破缺位移和boost的结果是，其中是平移的Goldstone和生成元，为boost的Goldstone和生成元，为剩余旋转对称性的「规范场」和生成元。

通过所谓Inverse-Higgs constraint^[7]（第二项等于0）以及有效场论的论证（三、四项为高阶项），最主要的贡献是唯一的，出自于第一项的系数，通过比较非相对极限可得。具体论证较为technical就不写下来了，参考下面文献第6节

L. V. Delacretaz, S. Endlich, A. Monin, R. Penco, F. Riva, (Re-)Inventing the Relativistic Wheel: Gravity, Cosets, and Spinning Objects?

arxiv.org

这个formalism的好处在于，可以系统推广到带自旋（破坏旋转对称性子群）、带多极矩的点粒子、破坏更多平移对称性的弦和膜，以及耦合规范场、引力场等等……

参考

^J. Polchinski《String Theory》卷1中1.2节的Eq (1.2.5) https://book.douban.com/subject/1239707/
^^a^bP. K. Townsend弦论讲义2.1节 http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/3P6.pdf
^P. K. Townsend弦论讲义3.4节 http://www.damtp.cam.ac.uk/user/examples/3P6.pdf
^M. D. Schwartz场论讲义 https://projects.iq.harvard.edu/files/schwartzqft/files/4_chapter33.pdf
^A. M. Polyakov《Gauge Fields and Strings》第九章 https://book.douban.com/subject/3021250/
^P. A. M. Dirac《Lectures on Quantum Mechanics》 https://book.douban.com/subject/3332473/
^I. Low and A. V. Manohar, Spontaneously Broken Spacetime Symmetries and Goldstones Theorem https://arxiv.org/abs/hep-th/0110285

其实题主你是狭义相对论没完全学明白，尤其是对四维语言不熟悉。要是初学分析力学，可以找本四维语言的相对论书或者电动力学最后一章补补，直接上朗道场论也不错。

来我给你捋一捋啊。

好了，先来看作用量最熟悉的那个定义，是个积分：

看到这里是对时间积分，换句话说最熟悉的定义是用三维语言表述的。

那么作用量能不能用四维语言表述？当然可以，众所周知拉式理论本身就可以很方便的用四维语言表述。考虑自由粒子的作用量，从它的性质和一些对称性能得到一些启示：根据是洛伦兹标量的性质，只能具有下述形式：

是粒子世界线的线元，积分限实际上是世界线的四维端点，标量常数只与粒子自身的性质有关。

首先来看看那个「」是怎么来的：习惯上作用量的量纲是，所以前面的常数的量纲就定出来是，又由于常数光速的量纲是，习惯上就单提出来两者之商也是一个只与粒子自身的性质有关的数，这个负号是为了让它有个正值，它具有量纲，也就是自由粒子的参数——质量（当然没有这么草率，但是还可以通过其他的方法来验证这个的确就是熟悉的粒子质量）。好的，出现了。

那么看起来现在作用量同样是用一个积分的形式来表示的，被积函数就是。然而与前述定义比较，此是彼吗？显然不是，这里的积分是对四维线元的积分，而非对时间的积分；如果遵循前述定义，严格来讲这个是不能叫做（三维）拉氏量的。当然咯，如果你开心，那不妨叫做四维的拉氏量。这一点尤其在场论里面非常常见，很多时候拉式密度都是采取这种四维协变的形式。当然这里不是场论，但如下定义没问题：

回到问题上来，一言以蔽之，你混淆了两个概念。你所说的那个「」其实是一个四维协变的洛伦兹标量，而不是能直接代入熟悉的三维欧拉方程里面的那个拉格朗日量。但是两者本质上是一个东西的不同表述，最后会看到，三维拉格朗日量可以看作是它在某个惯性系下的表现形式，因而它们之间存在确定的关系。

那么这个所谓「四维的拉氏量」就导不出运动方程吗？当然可以。咋导出呢？烤个栗子：

既然要追求四维表述，那就贯彻到底咯

直接上变分

分部积分一下，扔掉边界项，就得到了

很显然运动方程就是平直闵式时空的测地线方程，并且直接得到的就是四维语言表述的运动方程。

上面的推导过程里面，看起来貌似一直游离在积分之外，好像没有直接参与运动方程的导出，其实不然。加上个外场就会看得更明显，例如最简单的标量场，这个时候的作用量得写成

这个时候所谓的四维拉氏量就是

这次就实打实的参与积分了，导出来的运动方程是

若外场是矢量场，则四维拉氏量的形式更稍微复杂一点

不过也很熟悉就是了——电磁场中带电粒子的运动

所以你看，不用变成三维拉氏量也是可以导出运动方程的嘛。

上面说了这么多，其实就是想说明，题目里面的

无法从该拉氏量中导出运动方程和广义动量. 只有乘以(), 化为,才能得到运动方程.

是错误的。实际上无论三维的 还是四维的 ，都包含了关于运动的全部信息，都是可以独立导出运动方程的。而所谓的「无法导出」，其实不过是四维协变的无法直接代入三维欧拉-拉格朗日方程罢了——这是当然的。乘以三速平方的目的，本质上在于暗戳戳地选定了一个特殊的惯性系，使得四维语言自然地退化到熟悉的三维。

当然了，两者是存在确定关系的，而且其实特别简单。随便选个惯性系分解：

换句话说，。

把它做低速近似的展开

第一项是时间全微分，扔掉就得到题目里面直接相乘的形式了，常数不影响运动方程。简单验证一下，很明显当自由粒子情形的牛顿极限时，上式自然回到非相对论性自由粒子拉氏量。这就是题主问的第二个问题

为什么要乘以一个而不是不乘或乘以更多的?

的答案。顺便，所以题主的第一个问题

与的物理意义有什么区别?

答案也在这儿。两者实际上是同一个东西在三维和四维表述下的不同体现，具体的定义不一样：一个对时间积分得到作用量，一个对四维的世界线积分得到作用量；一个是四维协变的洛伦兹标量，一个是它在某个惯性系下的表现，当然也就未必是洛伦兹标量了。

注：关于评论区指出本部分存在一些问题，详见文末高亮说明。如果我的叙述引起了大家的一些误会，非常抱歉。

下面来看一下怎么从四维语言导出能量、动量，其实就是直接导出四维动量。

回顾一下三维情况的哈密顿-雅可比方程式怎么来的：将作用量视作端点依赖的函数，比方说，始端固定而末端变化：，则，也就是

，

这四个方程得到的正是四维动量的四个分量。这就暗示我们以同样的做法令，得到的

一次性就得到了能量和动量。简单验证一下，还是以自由粒子为例，带入得到

，

。

说明：评论区有指出我在这部分的推导一些细节问题，现说明如下。

（注：以下如无特别说明，均默认拉丁指标 ，希腊指标 ，抽象指标 仅标明对象的协变性质。）

在这里所选取的线长参数 物理意义是粒子的固有时。

三速的定义： 四速的定义： 它在某惯性系下可以分量展开： 这里可以看到，题主所给的定义，实际上是四速在惯性系下的空间分量 ，但是我在上述推导过程中，使用的实际上是三速的分量 。那么这里严格来讲，的确是需要做一下说明。我在昨天行文过程中，将这一段视作了比较显然的过程省略掉了。首先根据题主的原文，

自由粒子…………只有乘以()…………才能得到运动方程

由于我并不知道题主这句话的来源何处，所以不能贸然判定这里的「 」应当作何理解。不过有一点应当予以认同，那就是这里的指标 应该是三维指标，即便将之理解为四速的分量也应该局限于 求和，否则四速 相乘毫无意义。

此外，题主的这句话是针对于「自由粒子」来说的后验推论；并未将之推广到一般粒子上。因此单就这句话而言，的确是存在合理性的，说明如下：（为便于沟通，下面统一将三速分量记号记为 ，四速分量记号记为 ，因此可能与题主所使用符号有所区别，不再说明。)

根据四维形式的作用量的变分过程，已经知道自由粒子的运动方程为 上述运动方程包括了 其实这一点可以从另一个角度直观地印证： 可见比例系数就是 在非自由粒子情况下这一比例系数则不再是常数。但是对于自由粒子来说，就存在： 因此实际上： 扔掉全微分项和高阶小项后，并且考虑到常数对于拉氏量导出的运动方程没有影响，所以最后留下来的 （也就是题主所提出的形式）对于自由粒子来说其实就是 （也就是我原文给出的形式）。

当然，需要说明的是，关于三-四速的分量之间互换关系仅对于自由粒子来说才是常量。若对于非自由粒子，不应当仅仅乘以四速分量；但是就题主所叙述范围来看，并无错误。

我很同意另一位答主的观点，即本质上四速恒等式有约束作用，并且 得不到非平庸欧拉方程。

不过我的目的在于说明，为什么题主在某些文献上看到了 被叫做"拉氏量"却不能代入欧拉方程，这本质上是因为两类语境下的定义混淆了。直接添加约束方程固然没错，但是题主未必能理解。

此外，对于非自由粒子，仍然可以类似地定义「四维拉氏量」，只要它沿世界线的积分是作用量就可以。但是题主仍然会面对无法使用欧拉方程的问题，而那个时候即便乘以四速的空间分量也无法得到正确答案，因为对于非自由粒子来说两者比例不再是常数。这就是为什么我要强调乘以三速的原因，并且想让答主看明白两套语言的转换。

如果我的叙述引起了大家的一些误会，非常抱歉。

我不完全同意下面答主的观点。（我也可能只是在胡说八道。。。。）

这个拉氏量某种程度上具有先验的性质，如果一定要从原理上说明。可以这么表述。

单个相对论粒子的作用量，必须要求取极小值，而考虑粒子没有任何其他内禀标量（或标量函数，也暂时不考虑任何外场的影响），并考虑量纲之后，这个做用量只能是。现在，有几种得出运动方程的考虑，首先是完全几何的方法，也就是按照莫陪督-雅可比原理，直接变分上面的作用量，计算，这固然是一种方法，但是偏离了欧拉-拉格朗日原理的的计算，这里面没有直接变分标量函数，而是变分的了积分变数（在学变分法的时候，我们被教导这两种变分是本质不同的，虽然这些原理的结果都一样）。

按照正常的思路，先择可以换一个时间标度（选择一个惯性参考系），这样，上面的积分写成，对他变分直接得到粒子的相对论动力学方程（不过是三维形式）。

实际上，这里有两个根本性问题，一个是本质的，一个是非本质的。本质的那个就是其实在我们的四维速度的定义中四个分量不是独立的，而是由恒等式约束著的，非本质的就是这个拉氏量实际上是常数，没办法导出非平庸的拉氏方程。

这里的步骤本质上是复杂的（含有非齐次约束的力学系统），但是有一个适用于这种简单情形的特别容易的方案，我们选择这个一个粒子坐标或者速度的函数（按照经典决定论），使得它在粒子取约束条件的时候正好回到真实轨道，这样的拉氏量就是我们需要的，实际上，只要取形式，你可以试试，它们完全得到相同的运动方程，分母的常数也是无关紧要的（可以吸收到质量的重定义中，仅仅改变质量的单位）。

所以结论就是不一定要给出拉氏量 (如前所述的形式都是可以的)，这个拉氏量表示对是加上约束的拉氏量，换句话说是可以直接变分的拉氏量（但是最后还是需要满足约束方程）；而原始拉氏量不适用于传统变分问题，而必须要加上对于四速度的约束方程。

这样，你是否能理解了呢？

完整起见，我给出这种时候我们使用的协变哈密顿量，它是:

我们看到，这个哈密顿量在粒子在壳的时候就是零（这当然也是奇特的一件事）。

它自然成立四维哈密顿方程。

实际上，这里说的问题在量子场论中也有出现，出现在费曼图的传播子中的粒子实际上不是在壳的（它们的四动量取遍整个四维空间，而不是仅仅在壳的空间），我们就需要将自选和（对于在壳粒子定义的），推广到离壳粒子上去。这就有点远了。。。。

至于从微分几何的角度理解拉氏量，我真的所知甚少，我只是知道它是位形流形切丛上定义的标量函数而已，拉格朗日原理就是说在位形流形容许的所有轨道上，真实轨道的拉氏量关于参数（时间）的积分取驻定值。其他的，我也很弱，什么也不知道了。。。

我以前学习Landau第二卷的时候也想过这个问题，我想的就写在笔记里了，精力问题无法在知乎这破编辑器里面再打一遍，所以直接贴图。大致和其他答主说的差不多，为看到等价性需要考虑on-shell约束。我先贴trivial的部分，还有一些comment，其他答主可能没有提到，我相信也是有益的。

p.s. 这里的i显然是时空指标，题主应该是有的，@木瓜可能想当然了。

以下commit依然是基于我的笔记，我暂时没有再确认一下几年前的我说的是不是胡话。

第一个commit：在有相互作用的时候，为了依然可以这么做，会对相互作用有一定的限制如图中，我们希望的情形是，并不是任意的（相对论式的）相互作用是满足这点的。比如我们会问，为什么在考虑最简单的相互作用的时候，第一个考虑的是，而不是一个标量函数 B(x, u)乘以线元？因为此时无法满足，则 Lagrangian 并不能形式地看作一个自由粒子 Lagrangian 和一个势的和，且Lagrangian 中的乘子成为自由粒子 Lagrangian 和势的一个耦合。这使得理论丧失了美感。

第二个commit: 这可以推广到(semi-)Riemannian manifold上，依然是贴图

第三个commit：约束问题很常见，在算Dirac方程的运动方程的时候也会用类似的小技巧（用约束改写一部分以避开讨论约束，其实都不是严格的）。但在量子化的时候，约束会成为非常大的问题。正则量子化的话会回到哈密顿力学，经典的例子比如可以参见：这个回答. 何况到了规范场论，你还要选取规范，这也是约束，现在很流行的（也是研究前沿的）是BV量子化，非常非常粗略地说，它通过扩张空间，上面还有一个微分运算元D，我们考虑的（路径积分的）被积函数在这微分运算元作用下是零，则原本在小空间上的积分可以换到大空间里面的其他「围道」上去，使得一些东西变得清楚，当然这里扩张的空间是费米的。同时，这个微分运算元还满足D^2=0，所以我们可以考虑其上同调。原本top form的上同调等价于新的第0阶上同调等等等等。（我这里全是口胡，望真正的大佬指教）

第四个commit：类似的问题在弦论中也是存在的，那里，Nambu–Goto作用量是世界面的面积元的积分，参数化后面含根号，为了量子化，我们会将其改写成一个二次式。但这两者实际上是不等价的，二次式版本的action的对称性更强，新的Weyl对称性出现了。之所以弦论一定要避免Weyl对称性的反常，一个理由就是这个对称性是手加的，那显然不能破坏它，否则在量子意义上，这两个action是完全不等价的。

先回答拉格朗日量变更的问题。摘自《狭义相对论》刘辽

。。。。。。

两者没有区别。而本身就是缩并项，写不写成这样完全不影响求导，比如图中(23.13)(23.14)就可以做如下理解

场论中会告诉你，拉格朗日量虽然是标量，但是它是一个函数，其中是场量。所以这里你其实不能直接把做实数处理。

至于微分几何如何理解拉格朗日量、哈密顿量，本身涉及到一个比较复杂的领域，我这里就勉强写一点。

考虑流形 (位形空间)的切丛，是一个偶数维流形，所谓拉格朗日量就是映射 ，广义动量被定义为。对流形做坐标变换，广义动量有变换规则，这正是余切矢的变换规则。所以广义动量就是流形上的余切矢。而哈密顿量是拉格朗日量的勒让德变换，勒让德变换在流形上意味著从切丛变换到余切丛，所以哈密顿量是映射 。