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无理数的定义里说：无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

我不明白为什么会出现不能写作两整数之比。

你要学会问问题啊，你这个问题属于废话，因为无理数的定义就是不能写成整数之比的数，或者说，是因为分数不够用了，使得 [公式] 这种方程解不出来了，我们才被迫发明无理数的。

而从你的问题描述看来，你要问的真正问题是：

为什么无理数没有循环节？

要回答这个问题，我们只需要反过来，找出任意一个循环小数化成分数的方法就是了。

对于任何一个循环小数可以拆分为两个部分 [公式] ，其中 [公式] 是有限小数，其小数位数为 [公式] ，[公式] 是不循环部分全是0的循环小数，其循环节为 [公式] ，长度为 [公式] ，那么化为分数就是

[公式]

这次再加一个逆命题的证明，彻底证明无理数和无限不循环小数的等价性，之前证明了任何无限循环小数和有限小数（看作循环节为0）都可以化为分数，反过来，任何分数也能化为有限小数或无限循环小数。

考虑 [公式] ，如果能找到一个 [公式] ，那么直接就可以通过带余除法有 [公式] ，因此只需证明存在 [公式] 使得 [公式] 。

首先作分解 [公式] ，其中 [公式] ，只需取 [公式] ，那么 [公式] ，现在剩下证明存在 [公式] 使得[公式] 。

考虑同余环 [公式] ,计 [公式] ,由于10和 [公式] 互素，因此存在 [公式] 使得 [公式] ，从而 [公式] ，从而 [公式] 不是0因子，考虑 [公式] 生成的循环群，由于 [公式] 是有限的，它也应该有限，记作 [公式] ，它全都是可逆元。因为 [公式] ，而可逆元满足消去律，直接有 [公式] 。

此时我们直接取 [公式] ，就有 [公式] ，即有 [公式] 。

顺便还得出了一个推论：

分母（约分后）的质因数只含2和5的分数是有限小数，不含2和5的是纯循环小数，其余的是混循环小数。

无理数集合是有理数集合之外的集合，两者没交集，并集为完备实数集。

这是第二次数学危机后的数学公理化运动，戴德金分隔的证明内容。

假如无理数能写作两个整数之比，那么无理数集合就和有理数集合之间有交集了。

戴德金分隔不了解的同学看李永乐老师这期视频，好好上课别开小差。

转自@李永乐老师官方

首先无理数的定义就是不能写成两个整数之比的数。

其次才是无理数一定是无限不循环小数，因为无限循环小数都可以写成两个整数之比。

也可以证明某些无理数不能写成整数之比，比如 [公式] 。

假设 [公式]

则 [公式] ,故 [公式]

故 [公式] ，与p,q互质矛盾

更新：我只是觉得题主想知道的是被称为无理数的这种数为什么具有不可同约这种性质（我觉得可以称作性质，我认为性质包含种差的概念，也就是无理数和其他数不同的地方）。所以举了比较好理解的根号2不可通约的例子。我认为一些问题的产生是对这个问题没有一个大体的、相对直观的认识，所以写了这个答案。如果回答不是正确的，希望大家告诉我。

我有时候也会有这种问题，实际上可能只是单纯的逻辑没转过来，我这里没有证明，只盘一盘逻辑。

前提1.对于无限位数的小数来说，除了无限不循环小数，就是无限循环小数。这一条等价于，在实数中，除了无理数就是有理数，反之亦然(算是公理吧)。这意味著，当我们说一个数不是有理数时，他一定是无理数，这是问题的关键。

前提2.如果一个数是有理数，那它必可以写成两个整数之比。有理数可写成两个整数之比是有理数的一个充要条件，证明挺经典的，各种数学趣味读物上都有，这里就不多嘴了。这意味著，如果一个数不能写成两个整数之比，那他就不是有理数。

2:如果一个数不能写成两个整数之比，那他就不是有理数;1:如果一个数不是有理数，那他是无理数。

→结论:如果一个数不能写成两个整数之比，那他是无理数。

这跟 无理数不能写成两个整数之比 就完全是一个意思啦。(所以是纯阅读理解问题？)

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