為何哥德巴赫猜想不能用初等數學證明？

最近知乎用戶「證明」提問高中生證明哥德巴赫猜想猜想如何如何，
引起不少人嗤之以鼻。
此事進展不得而知，但是很多人說的「初等數學無法證明哥德巴赫猜想」是猜想還是能得到證明的？

如果說像黎曼猜想的表述中，zeta函數不屬於初等數學，那麼還好理解。
但是哥德巴赫猜想，表述中只有偶數和質數，質數除了2都是奇數，也就是說基本上就是排除掉合數的奇數。合數，只用乘法就能表示，乘法變幻也不過平方、加減之類，屬於初等數學範疇。那麼是怎麼得出哥德巴赫猜想必須用高等數學才能證明的結論呢？
那豈不是說已經證明了質數或合數只有高等數學才能表述？
還是說只是像愛因斯坦反駁量子力學的「上帝不擲骰子」，泡利反駁弱相互作用力中宇稱不守恆的「我不相信上帝是一個弱左撇子」這類只憑直覺的判斷？

當然我不是為誰辯護，只是想求證一下這種說法有何依據。
我們不關注那個題主的水平問題了吧，單從學術來看，用初等數學證明哥德巴赫猜想和用高等數學證明，有何不同？
比如說陳景潤的論文我看不懂，但是好像有些高等數學的過程，出現了精確的小數，最終只是為了判斷大於還是小於。說「只是」或許不妥，但質數合數畢竟是整數，是否需要那麼精確？初等數學就不能判斷嗎？
我覺得不從本質上否定初等數學證明哥德巴赫猜想的可行性，始終會有人不信邪的。

又不可能把所有初等數學證明方法全都窮舉出來，所以理論上可不可能，那當然是可能的。但是事實上不管是知名大數學家還是民間數學家持續多少年嘗試用初等數論方法證明了都沒有結果，那隻能說經驗表明此路不通。事實上跟素數分布有關的命題，尤其是這種精確到每個素數分布的命題，常理上來說使用初等數論工具是很難夠到的，就好比拿米尺精確測量地球到月球的距離一樣。

如何定義初等確實是個問題，但是不管怎麼定義，我相信很難會有的，原因很簡單：歐拉想過這個問題。

歐拉（1707-1783）一生所作出的數學成就浩如煙海。如果你遨遊在那個年代的數學海洋中，那麼走兩步路就可能看到一塊牌子：歐拉到此一游。在許多數學的方向，包括平面幾何、幾何學、分析學、數論、圖論、應用數學、物理等等，歐拉不僅做出了許多貢獻，而且大多都是開創性的成果。數不清的公式、定理、常數掛著歐拉的名字。這感覺，大概就像輝煌的全唐詩，全部都是一個人寫的吧。

所謂著作等身實在是太小看歐拉了，1911年瑞典科學院就開始整理出版歐拉的著作，目前已經出版了75卷，還沒有整理完。歐拉大概是人類歷史上數學著作第二多的數學家。

而這麼一位大人物是思考過哥德巴赫猜想的。確切地說，現在我們看到的哥德巴赫猜想的版本其實就是歐拉提出來的。但是他明確地說過，他認為這應當是正確的定理，但是他證不出來。

順便一說，著作第一多的是匈牙利數學家Erdos（1913-1996），他也思考過哥德巴赫猜想，無果。

如果你要用初等工具對付哥德巴赫猜想，那麼你就要和歐拉這一級別的數學家同台競技。你是比他聰明？比他勤快？比他努力？還是比他活得長？也許只有手上有足夠新足夠強的、歐拉不知道的工具，才能幹得比他好吧。有時候我自己都覺得，幸好歐拉這樣的數學家沒那麼多——要是歐拉長壽到現在，知道了現在這些新的工具新的問題，那我們這些人統統沒飯吃。

打個不恰當的比方，拿著鍵盤或是手機跟王羲之比寫字速度還有可能贏，若是跟他筆墨紙硯比書法，那就是自取其辱。

沒記錯，「初等證明」的意思是「找到（已存在的）高等證明的初等表述」

據說，一找幾百頁挺常見的。

並不是初等方法不能證明哥德巴赫猜想

——只是，你低估了初等方法需要的長度。

1896年Hadamard和De la Vallee Pousin分別用複分析的方法獨立證明了素數定理。幾十年後的1948年Erdos和Selberg分別獨立給出了素數定理的初等證法。

如果哥德巴赫猜想有一天得到了證明，那麼不久之後初等的證明方法肯定能被研究出來。只不過這裡的「初等」僅僅是避開複分析的意思罷了。

首先，好像並沒有人說哥德巴赫猜想不能用初等數論方法來證明，只是可能性非常非常小，不然這麼長時間裡全世界那麼多數學家總會有一個人已經證出來了。（在這裡我認為就算是數學家思考一個問題，也是先從簡單的初等的角度開始考慮）

陳景潤老師在1978年寫的一本《初等數論I》序言里也說了「最近幾十年，哥德巴赫猜想是不可能只用初等數論的方法來證明的。」這句話放在現在仍然成立。

其次，就算能用初等數學方法來證明，那麼方法所蘊含的數學思想也必然是十分深刻的，只有大數學家才能洞察到，這是只有初等數論知識儲備的人絕對無法領會的。所以某高中生的初等數學證明哥德巴赫猜想的論文絕對是錯的。