哪位大佬能把高數里的複合求導說得通俗一點？
我只感覺，我要瘋了，到處找，全是定義，我看得懂書上定義還要知乎幹嘛啊啊啊啊啊
回顧：
一元複合函數
其求導有鏈式法則：
畫出函數關係圖： ，可見從
到
有一條路徑，所以結果是 1 項的和，每一段路徑（對應一個導數）乘起來。
這個規則推廣到多元複合函數也是適用的。本篇就來講一講這個基本方法，掌握了它各種多元複合函數求導，包括各種隱函數求導，無論多複雜都手到擒來。
一. 基本步驟
非常簡單：
（1）先理清函數關係，畫出函數關係圖；
（2）按照規則寫出式子（有幾條路徑就是幾部分的和，路徑的每段對應的導數用乘法連起來）。
剩下的就只是計算，還要注意一元函數關係用直立的導，多元函數關係用偏導；還有通常的二元函數或多元函數（非隱函數，方程式才隱含隱函數），比如 , 其中的
是相互獨立的，即
, 也即通常求偏導時，將其餘變數當常數對待。
很多學生追求題海戰術，往往忽略第一步，結果做了大量的題目，遇到難題還是不會。
二. 若干例子
下面通過幾個例子來闡述。
例1 , 求
.
解：（1）分析函數關係， 是
的函數，
是
的函數，據此畫出函數關係圖：
（2）按規則寫出式子
到
有兩條路徑：
直接到
，
先到
再
到
（計算略)
注意：上式兩個 的含義是不同的，左端的
是整個函數關係中的偏導關係，而右端的
只是這個分支路徑的偏導關係，只考慮
對
的偏導，將
當常數對待。
說明：整個函數關係是指「複合之後 只是
的二元函數（不含中間變數）」，即
而將整個函數關係（含中間變數）表示成的上圖，是對整個函數關係的一種分解，分解之後每部分關係都是相對獨立的關係（不再混雜不清），即
故在按函數關係圖寫出式子時，不需要再考慮混雜關係，只需要按規則寫即可。
例2 隱函數求導也一樣，除了時刻注意到隱含的函數關係。比如， ,求
.
解：(1) 隱含了函數關係
. 【當然，根據問題需要，它也可以隱含函數關係：
】
先畫出函數關係圖（ 是
的函數，
是
的函數）：
為了求 ，兩邊同時對
求導，注意隱含的函數關係
.
按規則寫出式子：
(2) 再求二階偏導，按定義二階偏導就是對一階偏導結果，再求一次一階偏導
，代入
畫出函數關係圖，注意 的地位與
是相同的，仍有相同的函數關係：
所以，上式先是商式求導，再注意到上圖的函數關係，正常計算即可（略）。
例3 設 有二階連續偏導，已知方程
, 求
.
解：（1）先理清函數關係
是方程式，所以這是個隱函數，其中有
，所以實際上是
, 它隱含的函數關係是
.
要求 ， 那就是全微分公式，需要先求
又 中的兩個位置變數帶表達式，所以，先引入中間變數（複合函數）簡化關係，令
, 則方程式變為
畫函數關係圖（別忘了隱函數關係）：
(2) 方程式兩邊 同時對
求導，按照上圖和規則寫式子：
到
共有 3 條路徑：
到
到
,
到
到
到
,
到
到
到
. 故
是自己引入的中間變數，不是原題目里的，按照約定用位置下標來寫，即計算上式得
可解出
同理，方程兩邊同時對 求導，可推得
(3) 於是，由全微分公式，可得
例4 方程組
分析：若從 解出
再代入
可得
, 該隱函數可隱含函數關係
; 同理，若先從第1個方程解出
再代入第2個方程，可確定隱函數函數關係
.
故該方程組隱含兩個二元函數關係：
那麼就可以求 .
畫出函數關係圖：
原方程組兩邊同時對 求導，根據上圖和規則可得
即
解這個關於 的二元一次方程組，即可求得
.
同理，原方程組兩邊同時對 求導，解方程組可求得
.
總結：以上就是多元複合（隱）函數（無論有表達式還是無表達式）求導（包括求一階、二階導）的基本方法，通過一兩道題掌握了這個基本方法，不用搞題海戰術，這類題也都能輕鬆解決。
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【官方雙語】微積分的本質 - 04 - 直觀理解鏈式法則和乘積法則_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili?b23.tv
概括一下思路：
導數可以理解為函數值對自變數的敏感度。自變數從 變化了微小的
時，函數值的變化約是
的
倍。實際上，根據微分的性質，
，誤差是高階無窮小。
對於複合函數 ，記
. 當
變化了微小的
時，
變化了微小的
，則
變化了微小的
，因此
鏈式法則最簡單的記法是 .
這是一個略去了細節的、簡潔的證明：（實際上與上述推理的思想完全一致）
就這樣記著就行了：
對任意複合函數：
它的導數：
下面我從兩個角度講一下複合求導。第一個角度如何用複合求導做題。也就是說，考複合求導的題，需要用哪些公式。第二個角度是：從哲學上看，複合求導公式的含義是顯然的。
第一個角度：
第一點：如果x是自變數，且有一個關於自變數x的導數公式，
如[f(x)]=f(x)或(sinx)=cosx……………(*)
則可將原有的關於自變數x的導數公式中的x換為任意的函數"口"（讀作框），並在原等式的非(…)的一邊乘以口。例如因為有(*)式，則把其中x換口，並在等式的非(…)一邊乘以囗，因此得到下述所謂的複合求導公式：
[f(口)]=f(口)?口或(sin口)=(cos口)?口。
第二點（就是所謂的複合求導的鏈導法則）：
如果u是v的函數，v是w的函數，則有公式：
(u對w的導數)=(u對v的導數)?(v對w的導數)。
第二個角度：
從哲學上看。首先設y=f(u)且u=g(x)，
由於從哲學上講g(x)的含義是在x點處x每增加一個微觀單位，g(x)都會增加g(x)個微觀單位（這一點的來源可以看我下面文章中的最後一張照片：https://zhuanlan.zhihu.com/p/86820660）。同理在u點處u每增加一個微觀單位，f(u)都會增加f(u)個微觀單位。
因此，在x點處x每增加一個微觀單位，g(x)增加了g(x)個微觀單位，從而導致y=f(g(x))（記為y=y(x)）在x點處增加了f(g(x))?g(x)個微觀單位。所以得到複合求導公式：
y(x)=[f(g(x))]=f(g(x))?g(x)
結束。
Ok！我來給複合函數求導的鏈式法則一個直觀的解釋。
比如說，函數 由
複合而成。請注意，導數總是變化率，粗略地說，就是函數值增量相對於自變數微小增量的倍數。給定增量
，首先被函數
作用，被放大了
倍，即
然後，這
又在函數
作用下，被放大了
倍，即
於是，整體地看，
經過複合函數的作用，總的被放大了
倍，即
這差不多就是Chain Law 了！
可以通過第一幅圖控制第二幅而，按鈕就是Δx
Δx足夠小艾普西龍為零
張宇有句話就很生動「一層一層剝開我的心」，也就是說，複合函數是一層一層，由外往裡求導。
不請自來
《普林斯頓微積分讀本》 78 98頁
這其實是鏈式法則，其實鏈式法則再通俗的講就是運用了除法的性質：記導數為dy/dx（dy與dx近似於Δy與Δx）
所以dy/dx=（dy/dx）（du/du）=（dy/du）（du/dx）=y對u求導再乘u對x求導
一，有具體表達式，一般採取畫關係鏈，同路相乘，不同路相加的方法
複合函數求偏導（一）
蜂考的視頻 · 158 播放二，抽象表達式
複合函數求偏導（二）
蜂考的視頻 · 210 播放複合函數求偏導（三）
蜂考的視頻 · 220 播放複合函數求偏導（四）蜂考的視頻 · 92 播放編輯於 04-02繼續瀏覽內容
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wzd寫個最簡形式：
y=f（u）=f（U（Ⅴ））=f（U（Ⅴ（X））），
y『=dy/dx=dy/dv×dv/dx
=dy/du×du/dv×dⅤ/dx
=（dy/du）（du/dV）（dv/dx）
只要你承認分數的分子，分母可同乘以一個不為0的數這性質即可。
y=Inu=ln（sin（x2+1））
u=sinv=sin（x2+1）
V=x2+1。
（（x2+1）不是複合，是兩函數和）
寫個最簡形式：
y=f（u）=f（U（Ⅴ））=f（U（Ⅴ（X））），
y『=dy/dx=dy/dv×dv/dx
=dy/du×du/dv×dⅤ/dx
=（dy/du）（du/dV）（dv/dx）
只要你承認分數的分子，分母可同乘以一個不為0的數這性質即可。
y=Inu=ln（sin（x2+1））
u=sinv=sin（x2+1）
V=x2+1。
（（x2+1）不是複合，是兩函數和）
圖片來自網路
其實抽象一點還好理解一點，複合求導的鏈式法則就是表述每一級複合的許多個導數和最開始到最後的總的導數之間的關係的。
再說實例，z=f(u, x, y)=u^2+x^2+y^2
u=x+y，求z對x，y的偏導
這個f(a, b, c)=a^2+b^2+c^2 就是把u，x，y
三個變數對應到z一個變數的函數
然後x=x，y=y，u=x+y，這三個式子作為一個整體，又是一個把x，y兩個變數對應到u，x，y三個變數的函數，把他叫g吧，也就是g(x，y)=(x+y，x，y)
既然你知道f和g，就能得到各個變數組之間的偏導，就不用去由f和g推出x，y兩個變數到z一個變數的函數後再求偏導，而是可以用鏈式法則把兩個求出來的偏導組合起來得到新的偏導，就是z一個變數對x，y兩個變數的偏導。至於鏈式法則的表達和形式的證明另說。
體會到你的絕望的，只能是同道中人。
大佬的通俗易懂，你是理解不了的。
複合函數求導就是像剝皮，一層套一層，先要分清複合函數是由哪幾個函數組合而成，然後由外到里逐一求導，最後乘在一起。加油哦！
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