哪位大佬能把高数里的复合求导说得通俗一点？
我只感觉，我要疯了，到处找，全是定义，我看得懂书上定义还要知乎干嘛啊啊啊啊啊
回顾：
一元复合函数
其求导有链式法则：
画出函数关系图： ，可见从
到
有一条路径，所以结果是 1 项的和，每一段路径（对应一个导数）乘起来。
这个规则推广到多元复合函数也是适用的。本篇就来讲一讲这个基本方法，掌握了它各种多元复合函数求导，包括各种隐函数求导，无论多复杂都手到擒来。
一. 基本步骤
非常简单：
（1）先理清函数关系，画出函数关系图；
（2）按照规则写出式子（有几条路径就是几部分的和，路径的每段对应的导数用乘法连起来）。
剩下的就只是计算，还要注意一元函数关系用直立的导，多元函数关系用偏导；还有通常的二元函数或多元函数（非隐函数，方程式才隐含隐函数），比如 , 其中的
是相互独立的，即
, 也即通常求偏导时，将其余变数当常数对待。
很多学生追求题海战术，往往忽略第一步，结果做了大量的题目，遇到难题还是不会。
二. 若干例子
下面通过几个例子来阐述。
例1 , 求
.
解：（1）分析函数关系， 是
的函数，
是
的函数，据此画出函数关系图：
（2）按规则写出式子
到
有两条路径：
直接到
，
先到
再
到
（计算略)
注意：上式两个 的含义是不同的，左端的
是整个函数关系中的偏导关系，而右端的
只是这个分支路径的偏导关系，只考虑
对
的偏导，将
当常数对待。
说明：整个函数关系是指「复合之后 只是
的二元函数（不含中间变数）」，即
而将整个函数关系（含中间变数）表示成的上图，是对整个函数关系的一种分解，分解之后每部分关系都是相对独立的关系（不再混杂不清），即
故在按函数关系图写出式子时，不需要再考虑混杂关系，只需要按规则写即可。
例2 隐函数求导也一样，除了时刻注意到隐含的函数关系。比如， ,求
.
解：(1) 隐含了函数关系
. 【当然，根据问题需要，它也可以隐含函数关系：
】
先画出函数关系图（ 是
的函数，
是
的函数）：
为了求 ，两边同时对
求导，注意隐含的函数关系
.
按规则写出式子：
(2) 再求二阶偏导，按定义二阶偏导就是对一阶偏导结果，再求一次一阶偏导
，代入
画出函数关系图，注意 的地位与
是相同的，仍有相同的函数关系：
所以，上式先是商式求导，再注意到上图的函数关系，正常计算即可（略）。
例3 设 有二阶连续偏导，已知方程
, 求
.
解：（1）先理清函数关系
是方程式，所以这是个隐函数，其中有
，所以实际上是
, 它隐含的函数关系是
.
要求 ， 那就是全微分公式，需要先求
又 中的两个位置变数带表达式，所以，先引入中间变数（复合函数）简化关系，令
, 则方程式变为
画函数关系图（别忘了隐函数关系）：
(2) 方程式两边 同时对
求导，按照上图和规则写式子：
到
共有 3 条路径：
到
到
,
到
到
到
,
到
到
到
. 故
是自己引入的中间变数，不是原题目里的，按照约定用位置下标来写，即计算上式得
可解出
同理，方程两边同时对 求导，可推得
(3) 于是，由全微分公式，可得
例4 方程组
分析：若从 解出
再代入
可得
, 该隐函数可隐含函数关系
; 同理，若先从第1个方程解出
再代入第2个方程，可确定隐函数函数关系
.
故该方程组隐含两个二元函数关系：
那么就可以求 .
画出函数关系图：
原方程组两边同时对 求导，根据上图和规则可得
即
解这个关于 的二元一次方程组，即可求得
.
同理，原方程组两边同时对 求导，解方程组可求得
.
总结：以上就是多元复合（隐）函数（无论有表达式还是无表达式）求导（包括求一阶、二阶导）的基本方法，通过一两道题掌握了这个基本方法，不用搞题海战术，这类题也都能轻松解决。
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【官方双语】微积分的本质 - 04 - 直观理解链式法则和乘积法则_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?b23.tv
概括一下思路：
导数可以理解为函数值对自变数的敏感度。自变数从 变化了微小的
时，函数值的变化约是
的
倍。实际上，根据微分的性质，
，误差是高阶无穷小。
对于复合函数 ，记
. 当
变化了微小的
时，
变化了微小的
，则
变化了微小的
，因此
链式法则最简单的记法是 .
这是一个略去了细节的、简洁的证明：（实际上与上述推理的思想完全一致）
就这样记著就行了：
对任意复合函数：
它的导数：
下面我从两个角度讲一下复合求导。第一个角度如何用复合求导做题。也就是说，考复合求导的题，需要用哪些公式。第二个角度是：从哲学上看，复合求导公式的含义是显然的。
第一个角度：
第一点：如果x是自变数，且有一个关于自变数x的导数公式，
如[f(x)]=f(x)或(sinx)=cosx……………(*)
则可将原有的关于自变数x的导数公式中的x换为任意的函数"口"（读作框），并在原等式的非(…)的一边乘以口。例如因为有(*)式，则把其中x换口，并在等式的非(…)一边乘以囗，因此得到下述所谓的复合求导公式：
[f(口)]=f(口)?口或(sin口)=(cos口)?口。
第二点（就是所谓的复合求导的链导法则）：
如果u是v的函数，v是w的函数，则有公式：
(u对w的导数)=(u对v的导数)?(v对w的导数)。
第二个角度：
从哲学上看。首先设y=f(u)且u=g(x)，
由于从哲学上讲g(x)的含义是在x点处x每增加一个微观单位，g(x)都会增加g(x)个微观单位（这一点的来源可以看我下面文章中的最后一张照片：https://zhuanlan.zhihu.com/p/86820660）。同理在u点处u每增加一个微观单位，f(u)都会增加f(u)个微观单位。
因此，在x点处x每增加一个微观单位，g(x)增加了g(x)个微观单位，从而导致y=f(g(x))（记为y=y(x)）在x点处增加了f(g(x))?g(x)个微观单位。所以得到复合求导公式：
y(x)=[f(g(x))]=f(g(x))?g(x)
结束。
Ok！我来给复合函数求导的链式法则一个直观的解释。
比如说，函数 由
复合而成。请注意，导数总是变化率，粗略地说，就是函数值增量相对于自变数微小增量的倍数。给定增量
，首先被函数
作用，被放大了
倍，即
然后，这
又在函数
作用下，被放大了
倍，即
于是，整体地看，
经过复合函数的作用，总的被放大了
倍，即
这差不多就是Chain Law 了！
可以通过第一幅图控制第二幅而，按钮就是Δx
Δx足够小艾普西龙为零
张宇有句话就很生动「一层一层剥开我的心」，也就是说，复合函数是一层一层，由外往里求导。
不请自来
《普林斯顿微积分读本》 78 98页
这其实是链式法则，其实链式法则再通俗的讲就是运用了除法的性质：记导数为dy/dx（dy与dx近似于Δy与Δx）
所以dy/dx=（dy/dx）（du/du）=（dy/du）（du/dx）=y对u求导再乘u对x求导
一，有具体表达式，一般采取画关系链，同路相乘，不同路相加的方法
复合函数求偏导（一）
蜂考的视频 · 158 播放二，抽象表达式
复合函数求偏导（二）
蜂考的视频 · 210 播放复合函数求偏导（三）
蜂考的视频 · 220 播放复合函数求偏导（四）蜂考的视频 · 92 播放编辑于 04-02继续浏览内容
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wzd写个最简形式：
y=f（u）=f（U（Ⅴ））=f（U（Ⅴ（X））），
y『=dy/dx=dy/dv×dv/dx
=dy/du×du/dv×dⅤ/dx
=（dy/du）（du/dV）（dv/dx）
只要你承认分数的分子，分母可同乘以一个不为0的数这性质即可。
y=Inu=ln（sin（x2+1））
u=sinv=sin（x2+1）
V=x2+1。
（（x2+1）不是复合，是两函数和）
写个最简形式：
y=f（u）=f（U（Ⅴ））=f（U（Ⅴ（X））），
y『=dy/dx=dy/dv×dv/dx
=dy/du×du/dv×dⅤ/dx
=（dy/du）（du/dV）（dv/dx）
只要你承认分数的分子，分母可同乘以一个不为0的数这性质即可。
y=Inu=ln（sin（x2+1））
u=sinv=sin（x2+1）
V=x2+1。
（（x2+1）不是复合，是两函数和）
图片来自网路
其实抽象一点还好理解一点，复合求导的链式法则就是表述每一级复合的许多个导数和最开始到最后的总的导数之间的关系的。
再说实例，z=f(u, x, y)=u^2+x^2+y^2
u=x+y，求z对x，y的偏导
这个f(a, b, c)=a^2+b^2+c^2 就是把u，x，y
三个变数对应到z一个变数的函数
然后x=x，y=y，u=x+y，这三个式子作为一个整体，又是一个把x，y两个变数对应到u，x，y三个变数的函数，把他叫g吧，也就是g(x，y)=(x+y，x，y)
既然你知道f和g，就能得到各个变数组之间的偏导，就不用去由f和g推出x，y两个变数到z一个变数的函数后再求偏导，而是可以用链式法则把两个求出来的偏导组合起来得到新的偏导，就是z一个变数对x，y两个变数的偏导。至于链式法则的表达和形式的证明另说。
体会到你的绝望的，只能是同道中人。
大佬的通俗易懂，你是理解不了的。
复合函数求导就是像剥皮，一层套一层，先要分清复合函数是由哪几个函数组合而成，然后由外到里逐一求导，最后乘在一起。加油哦！
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