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比如說，我們研究該函數在 區間上的可積性。回顧定積分（注意，這是黎曼積分）定義

因為 是在分割後的諸區間上任取的，若總取為其中的有理數，這樣和式為 若總取其中的無理數，這樣和式為 於是顯見該極限不存在，故函數不可積。

事實上，只需注意到函數在任意區間上振幅都為 即可斷言函數在任意區間上都不可積。

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因為可積蘊含定義域內至少包含一個連續點，但顯然狄利克雷函數無處連續，自然不可能包含一個連續點，所以必然不可積。

相比於黎曼函數，黎曼函數在無理數點都是連續的，這與狄利克雷函數有根本不同。

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Riemann不可積證明如下

基本思路是通過分法控制任意性

Dirichlet函數Lebesgue可積

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Lebesgue可積，在R上積分為零。

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這是一個處處不連續的偶函數，不連續就不可積，那怕有一小段連續也可積，但它沒有啊！

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前面有人說得很清楚了，不過還有一個角度，這個函數構成的圖像邊界面積不是0！什麼是邊界希望自己思考一下，順便可以檢查下你心裡對面積的理解。

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