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比如说，我们研究该函数在 区间上的可积性。回顾定积分（注意，这是黎曼积分）定义

因为 是在分割后的诸区间上任取的，若总取为其中的有理数，这样和式为 若总取其中的无理数，这样和式为 于是显见该极限不存在，故函数不可积。

事实上，只需注意到函数在任意区间上振幅都为 即可断言函数在任意区间上都不可积。

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因为可积蕴含定义域内至少包含一个连续点，但显然狄利克雷函数无处连续，自然不可能包含一个连续点，所以必然不可积。

相比于黎曼函数，黎曼函数在无理数点都是连续的，这与狄利克雷函数有根本不同。

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Riemann不可积证明如下

基本思路是通过分法控制任意性

Dirichlet函数Lebesgue可积

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Lebesgue可积，在R上积分为零。

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这是一个处处不连续的偶函数，不连续就不可积，那怕有一小段连续也可积，但它没有啊！

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前面有人说得很清楚了，不过还有一个角度，这个函数构成的图像边界面积不是0！什么是边界希望自己思考一下，顺便可以检查下你心里对面积的理解。

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