量子力學中，為何使用空間坐標或動量作為表象？

以哈密頓算符為例，能級的取值與粒子處於特定能級的概率幅，跟空間坐標無關，可是在空間表象下，哈密頓算符（或者其他可觀測算符）的本徵函數是空間坐標的函數，這應該如何理解？
換個問法，自旋的本徵函數單純就是一個向量，為何擴展到連續的空間中會想到用坐標作為表象？

因為表象本身只要求是同態，不要求是同構。

表象的本質就是Radon-Nikodym導數，也就是概率微商，只不過為了方便，我們通常去找平移不變的測度作為基準，這樣各處概率密度是統一的，也方便計算。由於分形測度太複雜，我們通常只能研究計數測度和勒貝格測度的表象，也就是所謂離散譜和連續譜。

首先必須明確的一點是，量子態和態向量本身是一個表象無關的量，只有找一個具體的物理量，例如能量、坐標才能給出相關的表象，其關係為

其中是我們需要研究的物理量的譜族，是我們選作0相位的標準態向量，而是方便計算引入的平移不變測度，要求滿足。

由此可見不同的物理量，不同的0相位都可以給出不同的表象，這就是能量表象和坐標表象的區別。而任意表象的波函數的模方是相位基準無關的概率密度，而相位本身是基準依賴的。

所以從這個角度來說，能量表象和坐標表象本質沒有誰高誰低的差別，只不過坐標表象通常是3個空間坐標聯合的，而能量只有一個物理量，從而坐標表象的簡併度更低，或者說，作為一個的線性映射，核更小，更接近線性同構（當沒有自旋時就是線性同構）。

而自旋的簡併度就更大了，這樣自旋表象作為的線性映射，丟失的信息就更多了，簡併度是可數無窮大。雖然通常表象並不要求就是線性同構，但我們可以通過添加統計無關的物理量，構成聯合譜族來減小簡併度，最終構成線性同構，這樣的一組物理量就被稱為一組完全集。

因為一般來說，你只知道動能在動量表象的表達式，勢能在坐標表象的表達式，其它表象的結果都要從上面的結果通過變換求得。實際測量的概率也常常和坐標或者動量表象的波函數直接聯繫起來。

表象的選取可以是任意的，可以取任何厄米算符的本徵表象。而坐標算符和動量算符是兩個最基本的厄米算符，因此當然可以取它們的本徵表象，也就是坐標表象和動量表象。

它們和自旋波函數的不同之處有，自旋算符的本徵值是離散的幾個值，而坐標和動量本徵值都是連續的，因此自旋波函數是一個有限分量的矢量，而空間波函數是一個無窮分量的矢量，可以記成psi_x, 下標x表示它的第x分量。當然，我們通常是把空間波函數寫作psi(x)。

坐標表象和動量表象中，坐標表象又更常見一些，這是因為在坐標表象中物理世界的局域性顯露得最清楚。

如你所說，粒子的能量本徵值以及粒子處在哪個能量本徵態的概率幅這些都與坐標無關。但是能量本徵態本身可以在坐標表象中去求解。這時候，能量本徵態當然就成了空間坐標的函數，也就是能量本徵波函數。這裡並沒有任何矛盾，因為粒子處在某個能量本徵態的概率幅是指粒子所處的任意態在能量表象中的展開係數，而能量本徵波函數的求解則是在坐標表象中求解特定的一類波函數。前者的表象是能量本徵表象，後者的表象是坐標表象。

或者更嚴格地說，能量本徵波函數其實是能量表象與坐標表象之間的表象變換矩陣元。不過我估計這麼說你也許會更暈。

表象就是基底。任何一組完備的基都可以作為表象，將態在該表象下展開，只是選取不同的基的方便程度不同。

以哈密頓算符為例，哈密頓算符在某態上的平均值即是能量的平均值，這個平均值當然只與態有關，而與態在什麼基底上展開無關。其他可測量同理。

採用矩陣形式求哈密頓算符的本徵值與本徵函數就是在求解定態薛定諤方程Hφ=Eφ，在坐標表象下解出來的本徵函數即態φ當然就是以坐標為基的展開係數了。