量子力学中，为何使用空间坐标或动量作为表象？

以哈密顿算符为例，能级的取值与粒子处于特定能级的概率幅，跟空间坐标无关，可是在空间表象下，哈密顿算符（或者其他可观测算符）的本征函数是空间坐标的函数，这应该如何理解？
换个问法，自旋的本征函数单纯就是一个向量，为何扩展到连续的空间中会想到用坐标作为表象？

因为表象本身只要求是同态，不要求是同构。

表象的本质就是Radon-Nikodym导数，也就是概率微商，只不过为了方便，我们通常去找平移不变的测度作为基准，这样各处概率密度是统一的，也方便计算。由于分形测度太复杂，我们通常只能研究计数测度和勒贝格测度的表象，也就是所谓离散谱和连续谱。

首先必须明确的一点是，量子态和态向量本身是一个表象无关的量，只有找一个具体的物理量，例如能量、坐标才能给出相关的表象，其关系为

其中是我们需要研究的物理量的谱族，是我们选作0相位的标准态向量，而是方便计算引入的平移不变测度，要求满足。

由此可见不同的物理量，不同的0相位都可以给出不同的表象，这就是能量表象和坐标表象的区别。而任意表象的波函数的模方是相位基准无关的概率密度，而相位本身是基准依赖的。

所以从这个角度来说，能量表象和坐标表象本质没有谁高谁低的差别，只不过坐标表象通常是3个空间坐标联合的，而能量只有一个物理量，从而坐标表象的简并度更低，或者说，作为一个的线性映射，核更小，更接近线性同构（当没有自旋时就是线性同构）。

而自旋的简并度就更大了，这样自旋表象作为的线性映射，丢失的信息就更多了，简并度是可数无穷大。虽然通常表象并不要求就是线性同构，但我们可以通过添加统计无关的物理量，构成联合谱族来减小简并度，最终构成线性同构，这样的一组物理量就被称为一组完全集。

因为一般来说，你只知道动能在动量表象的表达式，势能在坐标表象的表达式，其它表象的结果都要从上面的结果通过变换求得。实际测量的概率也常常和坐标或者动量表象的波函数直接联系起来。

表象的选取可以是任意的，可以取任何厄米算符的本征表象。而坐标算符和动量算符是两个最基本的厄米算符，因此当然可以取它们的本征表象，也就是坐标表象和动量表象。

它们和自旋波函数的不同之处有，自旋算符的本征值是离散的几个值，而坐标和动量本征值都是连续的，因此自旋波函数是一个有限分量的矢量，而空间波函数是一个无穷分量的矢量，可以记成psi_x, 下标x表示它的第x分量。当然，我们通常是把空间波函数写作psi(x)。

坐标表象和动量表象中，坐标表象又更常见一些，这是因为在坐标表象中物理世界的局域性显露得最清楚。

如你所说，粒子的能量本征值以及粒子处在哪个能量本征态的概率幅这些都与坐标无关。但是能量本征态本身可以在坐标表象中去求解。这时候，能量本征态当然就成了空间坐标的函数，也就是能量本征波函数。这里并没有任何矛盾，因为粒子处在某个能量本征态的概率幅是指粒子所处的任意态在能量表象中的展开系数，而能量本征波函数的求解则是在坐标表象中求解特定的一类波函数。前者的表象是能量本征表象，后者的表象是坐标表象。

或者更严格地说，能量本征波函数其实是能量表象与坐标表象之间的表象变换矩阵元。不过我估计这么说你也许会更晕。

表象就是基底。任何一组完备的基都可以作为表象，将态在该表象下展开，只是选取不同的基的方便程度不同。

以哈密顿算符为例，哈密顿算符在某态上的平均值即是能量的平均值，这个平均值当然只与态有关，而与态在什么基底上展开无关。其他可测量同理。

采用矩阵形式求哈密顿算符的本征值与本征函数就是在求解定态薛定谔方程Hφ=Eφ，在坐标表象下解出来的本征函数即态φ当然就是以坐标为基的展开系数了。