同樣，是否任意一個可定義的實數一定可以證明（判定）代數性？

如果對於一個數列 [公式] ，存在一個命題 [公式] ，使得（在給定的形式語言的模型中） [公式] 為真當且僅當取值為該數列 [公式] ，那麼稱這個數列是可定義的。

類似的，對於一個實數 [公式] ，它被稱為在集合論語言中，無參數地，一階邏輯可定義的，當且僅當存在一個集合論語言中，含一個自由變數的語式 [公式] ，語句 [公式] 為真當且僅當取值為 [公式] 。

[公式] ,難以判定.也許理論上可以.

任意的n，an等於Chaitin cosntant

沒學過數理邏輯，不懂QAQ。不過 @Yuhang Liu 的文章或許會對你有幫助：https://zhuanlan.zhihu.com/p/30869501?utm_source=qqutm_medium=social

也許可以先構造一個不可證明的抽象命題。。。然後把它轉化成數列的斂散性。

不懂不懂，溜了溜了

是否任意一個可定義的實數一定可以證明（判定）代數性？

這個問題顯然要看你的「可定義」是怎麼定義的，你允許使用哪些符號來組成表達式。代數性本身就是一種意義上的可定義。

另一方面，又要看你的「可以證明（判定）」的定義是什麼，你允許使用哪些演算規則和公理，或者別的什麼。

謝邀。知乎上已經有類似的問題了，放個傳送門吧：

有沒有目前不知道是否收斂的級數?

@鍵山小鞠 雖然內容和題目沒有多大關聯了，但是因為評論區沒有辦法顯示latex，我就把內容放到這裡了。

ZF並集公理（Axiom of union）

[公式]注意：這裡沒有直接給出集合族 [公式] 的並集 [公式] ，但是我們可以通過分離公理定義 [公式]

以上是你提到的並集公理在ZF公理集合論里的形式語句

公理化實數完備性/最小上界性質（Least-upper-bound property）

[公式]注意：這裡 [公式] 是實數集的一個子集，而 [公式] 是 [公式] 最小上界， [公式] 是 [公式] 的一個上界， [公式] 是 [公式] 中的實數

這表明了這個形式語句是二階的： [公式] 都是實數，而 [公式] 是一個實數的子集，兩者在模型中的實現不是同一級的。

我沒有理解為什麼後者是前者在實數理論上的「投影」？你能解釋一下嗎？

那麼為什麼ZF並集公理中每個變數都是集合，但仍然是一階的呢？

因為兩者實現的模型不同。前者的模型，是一個只有集合存在的宇宙（universe），裡面討論的對象是集合，集合間的二元關係是屬於；而後者的模型，是一個實數集，裡面討論的對象是實數，實數間的二元關係是 [公式] ，還有實數間的二元運算 [公式] 。對於後者而言，集合/屬於關係是更高級的，沒有辦法用一階邏輯語言來描述。

應題主邀請，我把公理化實數論貼出來。下面是卓里奇《數學分析》中給出的實數公理，考慮到題主閱讀方便，我特意找來了高教社翻譯的版本：

當然，我覺得有必要指出，這裡給出的實數完備公理形式上與通常的最小上界性不同，而是選擇了戴德金完備性，但是兩者是等價的二階形式語句。

實數公理的實現，或者說，實數的「模型」，是確實存在的。證明的方法即題主熟悉的公理化實數論構造法，從皮亞諾自然數開始，加入加法乘法逆元成有理數域，然後要麼用戴得金分割，要麼柯西列完備化構造實數。就我所知，前者的構造可以獨立於選擇公理，而後者不行；不過，後者給出了一般度量空間完備化的方法，而前者十分依賴於實數的序結構。

對我來講，無論是公理化實數論還是從公理集合論出發的構造性實數，兩者都非常成功。前者給出了實數性質簡潔、精確描述，適合初學者嚴格化地學習實變函數的分析理論，而後者給出了從第一性出發的實數存在性，提供了一種統一的數學視角和堅實的邏輯基礎。我覺得沒有必要厚此薄彼，公理集合論的成功不代表所有數學理論都要用公理集合論的語言去表述，更不意味著非公理集合論的語言描述的數學就是繁瑣的，缺乏價值的，多此一舉的。拿著一把集合論的劍，就想斬別的數學分支的頭了？那這和說「物理的盡頭是數學，數學的盡頭是哲學，哲學的盡頭是哲學」、物理沙文主義之類的中二行為有什麼區別呢？

不可以
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