除了e^x外，是否存在一個函數，使其任意階導數等於其自身？
題目可能敘述的不太清楚，上面的e^x也指任一常數與其之積（即該類型的都不算）。
先別考慮任意階導數，先考慮一階導數等於自身的情況，就足以列出微分方程了。
非常簡單的一個微分方程： .
,
,
,
.
由此解得的函數只有 了，而其任意階導數等於自身則可以算是更強的巧合。
所以不存在別的函數具有這種性質。
Ce^x，其中C為constant，可取0，也可取非零值。
函數的導函數等於自身的函數模型只有一個，那就是
[1]
通過解微分方程 可以得到
解法：
使用積分公式 [2]可得
,即
由於 仍是一個常數，因此上式可寫為
這樣常數 的取值範圍便可以擴充到任意實數
所以，除此之外不存在其它的函數能滿足該條件，當然，如果你某天發現某個函數也能滿足該條件，那其實只是換了個形式而已，本質上是一樣的東西
為什麼能滿足該條件的函數模型只有這一個，你需要了解的微積分知識有以下：
①拉格朗日中值定理② 的定義以及由來③微分方程
參考
- ^其中，C為常數，e是自然對數的底數
- ^其中，k為常數
你以為e是怎麼來的，當處對e的定義就是假設有一個常數，他的指數函數形式的導數等於本身，這個常數額額也就是歐拉發現的，定義為自然底數e,題主可以把e的X次方進行展開然後求一下導會有驚喜哦⊙?⊙！
一般定義下要求可導，這個常微分方程局部存在唯一解。
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