不利用歐拉常數等於0.57..，或者如何估計歐拉常數。

一個古老且複雜的方法。既然要估值歐拉常數，那就是歐拉說得算。為了看清楚歐拉的心路歷程，先給出一個歐拉發現的公式：

Lemma (Eulers summation formula)

如果 [公式] 在區間 [公式] 上有連續的導函數 [公式] （ [公式] ），則有：

[公式] ，其中 [公式] 是取整函數。

證明如果需要可以日後再更。

之後再來看 [公式] 的情況：

把 [公式] 代入到Lemma裡面，並令 [公式] ，有：

[公式] 。整理一下有： [公式] 。於是， [公式] 。

我們湊出了題里想要的形式，現在來觀察積分 [公式] 。

首先對於任何一個 [公式] ， 都存在一個 [公式] ，使得 [公式]

於是就相當於把積分 [公式] 的分子替換成了一個在0到1之間的常數，有：

[公式] 。 然後對於 [公式] ，都有 [公式] ，於是有： [公式] ，所以 [公式] ，最後再代入到剛剛整理過出的等式中，就能得到 [公式] 。//

先證明這個面積原理的加強形式：若 [公式] 在 [公式] 上下凸，則

[公式]

首先因為在 [公式] 上，經過點 [公式] 和 [公式]的直線上的點在 [公式]的上方，所以

[公式]

兩邊從 [公式] 到 [公式] 做積分可以得到結論

因為 [公式] 在 [公式] 上是下凸函數，所以可以對每一個 [公式] 都應用上述不等式，累加可得

[公式]

橫線部分是一個比較常用的函數不等式。

還有這個，右邊的證明簡單。

比較常見的函數不等式

我發現田字是一對二分之一（0.001*1000=01）（0點1千個*個千1點0）（10-1=9和9+2=11=01+10=11）（01+10=11和11/2=5.5）直徑圓周（核心尺半（正中統一0點的1份時間標準）半圓空間）兩種性質的（正中0點和1份正方統一時間標準原理模型。證明了田字外圍4直徑和內4半徑，相對等於（內外圓周正中方周〉一對兩種性質自然規律人為規則統一時間標準原理，相對等於正中0點1的統一時間標準的數學原理模型。詳細時間過程《大自然的正反規律》證明了我認知自然規律人為規則進步時間過程模型。

數學歸納。

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