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The original inequality is only correct for , otherwise the expression is complex and thus incomparable.

Rewriting the left side using a more symmetrical form as .

Consider the second-order derivative of the function as in

Since for defined by the expansion , we can obtain that , therefore, the original inequality is correct for .

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需限定 考察函数 不难证得 于是 是凹函数^[1]。于是， 成立 取 代入即得 这就是要证的。

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鉴于评论区有不少对所谓「不难证得」的质疑，这个更新就再补充一下关于 的证明。

因为 只需证 注意到 所以 在 上积分，有 再在 上积分，即得 这就是要证的。

参考

1. ^请注意，国内一些教材对函数凹凸性的定义跟国际通行的定义恰好相反。

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证明

证： 考虑 函数

其中，

当 时，

令

并且

所以 当 时，

当 时，

令

且 所以 当 时，

所以 当 时，

综上， 在 上大于 ，在 上小于

所以

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思路：

（1）发现左边两项关于x, 1/x 轮换对称；

（2）猜想左边在x=（1/x）=1处取得最大值4；

（3）求导验证果然f』(1)=0, f(1)=4。现在万事俱备，只差充分二阶条件了；

（4）想办法证明f」&<0。不好证，原因是二阶导数表达式中定正负号的关键部分比原式左边还复杂；

（5）换元利用轮换对称破解：令y=1/x, 记L(x,y,z)=(1+x)^y+(1+y)^x-z(xy-1)，其中z是拉格朗日乘子。然后求L的二阶偏导矩阵的行列式，那个行列式虽然更加肥大，但由于高度轮换对称，再加上拉格朗日乘子的辅助线角色，其正负号反而比直接的f」容易判定。再结合约束最优方法的二阶充分条件判断出原最大化问题在全局有唯一最优。

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不请自来，令f(t)=t^(-t/(1-t)),(0&

f(t)=f(t)*(2+(ln t)^2-t-1/t)/(1-t)^4

熟知0&

因此f(t)&<0,显然有f(1/(1+x))+f(x/(1+x))&<=2f(1/2)=4，证毕(原谅我不会用软体)

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不请自来，我的做法比其他大佬简洁而优雅。

已知 ;

有

显然 一定为 的极值点。

又考虑 ,

同时

其中 ，于是

因此, , 为凹函数。, 为凸函数。

显然， ,取 ，则

考虑 ， ,因此 ,有

有 ，因此

一定为最大值点。

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已知

易得

可得，

同时

且

毕证

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