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The original inequality is only correct for , otherwise the expression is complex and thus incomparable.

Rewriting the left side using a more symmetrical form as .

Consider the second-order derivative of the function as in

Since for defined by the expansion , we can obtain that , therefore, the original inequality is correct for .

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需限定 考察函數 不難證得 於是 是凹函數^[1]。於是， 成立 取 代入即得 這就是要證的。

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鑒於評論區有不少對所謂「不難證得」的質疑，這個更新就再補充一下關於 的證明。

因為 只需證 注意到 所以 在 上積分，有 再在 上積分，即得 這就是要證的。

參考

1. ^請注意，國內一些教材對函數凹凸性的定義跟國際通行的定義恰好相反。

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證明

證： 考慮 函數

其中，

當 時，

令

並且

所以 當 時，

當 時，

令

且 所以 當 時，

所以 當 時，

綜上， 在 上大於 ，在 上小於

所以

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思路：

（1）發現左邊兩項關於x, 1/x 輪換對稱；

（2）猜想左邊在x=（1/x）=1處取得最大值4；

（3）求導驗證果然f』(1)=0, f(1)=4。現在萬事俱備，只差充分二階條件了；

（4）想辦法證明f」&<0。不好證，原因是二階導數表達式中定正負號的關鍵部分比原式左邊還複雜；

（5）換元利用輪換對稱破解：令y=1/x, 記L(x,y,z)=(1+x)^y+(1+y)^x-z(xy-1)，其中z是拉格朗日乘子。然後求L的二階偏導矩陣的行列式，那個行列式雖然更加肥大，但由於高度輪換對稱，再加上拉格朗日乘子的輔助線角色，其正負號反而比直接的f」容易判定。再結合約束最優方法的二階充分條件判斷出原最大化問題在全局有唯一最優。

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不請自來，令f(t)=t^(-t/(1-t)),(0&

f(t)=f(t)*(2+(ln t)^2-t-1/t)/(1-t)^4

熟知0&

因此f(t)&<0,顯然有f(1/(1+x))+f(x/(1+x))&<=2f(1/2)=4，證畢(原諒我不會用軟體)

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不請自來，我的做法比其他大佬簡潔而優雅。

已知 ;

有

顯然 一定為 的極值點。

又考慮 ,

同時

其中 ，於是

因此, , 為凹函數。, 為凸函數。

顯然， ,取 ，則

考慮 ， ,因此 ,有

有 ，因此

一定為最大值點。

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已知

易得

可得，

同時

且

畢證

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