我能理解這類說法的意思大概是說讀者可以按照已有的證明以類似的方法給出完整的證明。直覺上這種做法是正確的，而且我也同意為了不讓證明過於繁冗和醜陋，應當在必要時使用類似於「不失一般性」這樣的說法。

但是，能否給出一個對於這類技巧的形式化的描述，從而嚴格說明在一定條件下，即使我們不給出完整的證明而僅僅考慮命題的一個部分，也能保證一般性結論的正確性呢？

不失一般性都是需要證明的，也就是說根本沒有「不失一般性」之說，之所以用這種方法只是為書寫提供一些便利。

比如說舉一個例子，設 [公式] 是正定運算元並且滿足 [公式] 正定，求證 [公式]

因為正定性， [公式] ，都是代數性質，所以為了使用Gelfand變換將它們表示為連續函數代數的形式，不失一般性可以假設幺元的存在。之所以這裡可以不失一般性假設幺元存在，是因為記原代數是 [公式] ，那麼如果 [公式] 不含幺，則 [公式] 是含幺代數，並且保正定性和範數，所以只需要在後者中證明 [公式] 即可。因此問題的本質就是證明在含幺代數中命題成立。

但是之所以需要不失一般性假設幺元存在，是因為 [公式] 畢竟不是 [公式] ，而 [公式] 在前者中的像 [公式] 畢竟也不是 [公式] ，所以在證明含幺的情況下每寫一句 [公式] ，在不含幺的情況下嚴格來說就要照抄一句 [公式] ，這樣太麻煩了，所以不失一般性，不這麼寫了，寫一遍 [公式] 就夠了。

形式化地來講，不失一般性應當就是指的通過某種替換操作，可以得到完整的證明，就像例子中的，我只證明含幺的情況，不含幺的情況，將 [公式] 替換為 [公式] ，將 [公式] 替換為 [公式] 即可得到證明。也就是說兩種分類情況 [公式] 和 [公式] 在我們所關心的命題意義下是等價的。

這種正確性依賴作者和讀者的mathematical maturity，即有初步的數學經驗和直覺。

寫「不失一般性」初衷就是為了簡化證明的篇幅，如果還需要再把簡化的合理性與正確性嚴格證明一下就違背了這個初衷。包括「不失一般性」 「類似地我們有」 「反之亦然」 在內的用法通常都出現在具有一定對稱性的例子中，這時只需要簡單交換兩個變數的位置或者變更某個符號的方向就可以得到類似的結果。

不失一般性的邏輯含義應該是結論的對稱性。即，結論的成立與否關於某個變換具有對稱性。比如證明集合A = {a1, a2, a3}有性質f(A)，由於集合的無序性，所以f的結果和其內元素的順序無關，故只需要證明g(LA) = f(A)成立即可，其中LA = (a1, a2, a3)，且a1 &<= a2 &<= a3。

贊同其他人說的「對稱性」，我再進一步擴展一下。

關鍵詞：無差別原則。可以被翻譯成principle of indifference或者principle of insufficient reason。這就是我們平常所說的「都行」或者「沒差」。一般能寫wlog的地方，都需要我們做出一個特定的選擇。如果能知道所有的候選相對於要解決的問題（注意語境限定的範圍）來說都一樣，那麼就不需要枚舉所有的候選，選一個有代表性但又wlog的特例即可（類似於在equivalence class中選擇representatives）。無差別原則往往在這時候很有用：如果相對於解決的問題，具體的選擇不會給我們足夠的理由（「不足夠的理由」就是無差別原則中的「insufficient reason」）讓我們可以在這個問題的scope內區分不同的選擇，那就隨便選一個即可。

比如，如果我們已知在表達式 [公式] 中，有且僅有一個項具有性質P，我們會發現，因為乘法交換律，x具有性質P或者是y具有性質P沒有任何區別，那就可以說

WLOG，我們假設x具有性質P

用另一個通俗但是在數學中非常常見的話來說就是，通過無差別原則我們可以知道某個問題的答案不依賴(does not depend on)某些具體的選擇，那在做這些選擇的時候就隨便選一個placeholder敷衍了事即可。

讀者證明不了不代表這句話可以隨便說。兩件事，所以需要老師。老師應該有更多的方法，當然現在學生也應該有網路。但是作者還是需要證明。

但證明不一定需要寫給你看，畢竟寫啥是作者的事。

有n+1個性質

P_1，……，P_n，Q

要證明 ：所有i，所有x，P_i(x)則Q(x)

如果對於任意i，k

所有x，(P_i(x)則Q_(x)) 則 (P_k(x)則Q_(x))

即，在1種情況下成立則所有情況下成立

那麼只用證明

所有x，(P_1(x)則Q_(x))

就行了

「不失一般性」在很多情況下是與一個性質的對稱性有關的。若存在一個實數上的性質 [公式] = [公式] ，則它是對稱的。我們首先假設 [公式] ,若能推出 [公式] ，那麼對於另一種情況，即 [公式] ，便有 [公式] ，於是便證明了P在任何情況下都是成立的（這類證明在不等式中尤為常見）。

當然，我並不認為wlog是一種直覺性上的假設，它本質上更應該是對兩個命題等價性的證明，所以對於題主最後一段的疑惑，我認為這個問題的答案單純就是證明等價。（當然對於大多數wlog的假設的等價性證明也不會太複雜，不然怎麼能讓讀者第一眼覺得這是對的呢lol）

最後貼一篇我找到的論文，這篇講了如何形式化對於自動化定理證明的wlog，舉了很多不同方面的例子，希望對你有幫助。

https://www.cl.cam.ac.uk/~jrh13/papers/wlog.pdf?

www.cl.cam.ac.uk

稍微跑點題，看一下物理上：

「不失一般性，我們假設有a。……」。這個句子中的a一定是和我要證明的東西無關的——即只改變符號，不改變（物理）實在。

例一：

a不等於b，且關於ab的條件是完全相同的，則不妨設a&>b。這裡是因為：如果是b&

例二：

矢量a，不妨設a沿z軸。

坐標系的人為選取不應改變物理實在。

例三：

空間中的電場，不妨設a處電勢為0。

勢能沒有絕對的大小，只有相對值才有意義（才是物理的），因此電勢零點可任意選取。

綜上所述，目前我能想到的可作「不失一般性」假設的情形有：標號的人為選取；坐標系的人為選取；非物理實在量的人為選取。

總結一下：與物理實在無關的人為數學語言的選取。

1、一般人(&>歐陽&

2、純數理1&>0&<2邏輯框架的正確性，知乎2000多條回復，無人能顛覆？

一般來說不失一般性的假設的根據都比較顯然。

懶得寫為什麼反正你自己看懂了前面的肯定就會了，的意思。

或者，除了假設情況之外很容易解決，的意思。

又或者，我們下面要介紹一個加強結論，的意思。

正確性沒法保障，就是跟你說一下我要幹嘛。

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