為什麼在求極限時有時候不能用等價無窮小替換？
為什麼有些式子用等價無窮小替換是錯的？比如下面這道題用e^x-1~x就不行，錯誤的解法為什麼是錯的，究竟什麼時候不可以用等價無窮小替換。
兩個圖告訴你正確和錯誤的差別。
錯誤：
正確：
所以等價無窮小的唯一正確用法是把整個式子乘上一個極限為1的式子，然後利用極限的乘法等於乘法的極限。
詳細請參見:
高數常見坑點：等價無窮小 - 杜昆泰的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/62029838
課本上寫的明明白白，等價無窮小代換是基於極限四則運算和等價無窮小定義，得到的一個定理。它的大意就是乘除可以代換。
這根本就沒有加減代換什麼事，所以加減不能隨便代換（能代換的題那是巧合）。
非得不看書，各種刷題，做錯了還不知道錯哪了。
解題的每一步都是基於定義或定理等結論或就是純計算步。沒有憑空來的。
做題的唯一目的是驗證定義定理等或者基本方法。一旦你這麼去做題了，一個基本方法，好好做一道題就夠了。
這種正確的學習高等數學（不只高數）的方法，可以看我的知乎專欄相關文章。
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補充：
評論中某些人真是不可理喻，你給他講正確的數學知識，他非得盯著做題總結出來的那點表象當寶貝。
俗稱聽不懂好賴話，那你就耗子尾汁吧。
等價無窮小替換一般用來求 型的極限。不是這種形式的話容易有問題。
目標是把待求極限的表達式變形成 ，進而得到極限為
，其中
不全為零。若
全為零則說明當前選擇的
不適合。
不嚴格地說，等價無窮小替換不能直接用在這題的理由是：
原題的表達式是 型。兩項的主要部分都是無窮大，若有極限的話，則無窮大部分相互抵消，得到的極限是有限的低階相減的結果。
而分子、分母中的等價無窮小替換，只保證主要部分不變，而低階部分是可能被改變的。
你得明白等價無窮小是怎麼來的。
所謂的替換，其實是走了一遍上面的流程，最後的樣子看上去像是直接替換了而已。
所以只有能夠這麼轉換的式子才適用等價無窮小。比如lim內只有一個連乘式或者只有一個分式。如果lim內有加減法，就不再適用。
其實很簡單，加減中也可以使用等價無窮小替換，但是，不是所有的加減中都能成功，這是因為你替換後的無窮小精確度問題。你比如先看一個簡單的極限：
看到紅色方框那裡了嚒，它們都是2階的，所以才能夠運算，只不過我們一般不寫出來而已。
至於你這一題錯誤在於，你按照無窮小等價，然後通分，完整展開它的本質：
它分母肯定是2階的，而分子你不管再如何去處理，正如我紅色方框所示，o（x）一階肯定是跑不掉的了，所以精確度不一樣，當然不能運算。
關於無窮小替換精確度的詳細講解可看我B站視頻或者知乎的這篇文章
【01期上集】高數疑難模塊-無窮小替換的精確度問題（乾貨十足）_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili?www.bilibili.com
楊家醬：在求極限（尤其涉及加減）時，無窮小替換的精確度問題?zhuanlan.zhihu.com
關於複合式子的麥克勞林展開式如何寫，可看這裡
【01期下集】高數疑難模塊-麥克勞林的終極用法_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili?www.bilibili.com
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