为什么在求极限时有时候不能用等价无穷小替换？
为什么有些式子用等价无穷小替换是错的？比如下面这道题用e^x-1~x就不行，错误的解法为什么是错的，究竟什么时候不可以用等价无穷小替换。
两个图告诉你正确和错误的差别。
错误：
正确：
所以等价无穷小的唯一正确用法是把整个式子乘上一个极限为1的式子，然后利用极限的乘法等于乘法的极限。
详细请参见:
高数常见坑点：等价无穷小 - 杜昆泰的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/62029838
课本上写的明明白白，等价无穷小代换是基于极限四则运算和等价无穷小定义，得到的一个定理。它的大意就是乘除可以代换。
这根本就没有加减代换什么事，所以加减不能随便代换（能代换的题那是巧合）。
非得不看书，各种刷题，做错了还不知道错哪了。
解题的每一步都是基于定义或定理等结论或就是纯计算步。没有凭空来的。
做题的唯一目的是验证定义定理等或者基本方法。一旦你这么去做题了，一个基本方法，好好做一道题就够了。
这种正确的学习高等数学（不只高数）的方法，可以看我的知乎专栏相关文章。
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补充：
评论中某些人真是不可理喻，你给他讲正确的数学知识，他非得盯著做题总结出来的那点表象当宝贝。
俗称听不懂好赖话，那你就耗子尾汁吧。
等价无穷小替换一般用来求 型的极限。不是这种形式的话容易有问题。
目标是把待求极限的表达式变形成 ，进而得到极限为
，其中
不全为零。若
全为零则说明当前选择的
不适合。
不严格地说，等价无穷小替换不能直接用在这题的理由是：
原题的表达式是 型。两项的主要部分都是无穷大，若有极限的话，则无穷大部分相互抵消，得到的极限是有限的低阶相减的结果。
而分子、分母中的等价无穷小替换，只保证主要部分不变，而低阶部分是可能被改变的。
你得明白等价无穷小是怎么来的。
所谓的替换，其实是走了一遍上面的流程，最后的样子看上去像是直接替换了而已。
所以只有能够这么转换的式子才适用等价无穷小。比如lim内只有一个连乘式或者只有一个分式。如果lim内有加减法，就不再适用。
其实很简单，加减中也可以使用等价无穷小替换，但是，不是所有的加减中都能成功，这是因为你替换后的无穷小精确度问题。你比如先看一个简单的极限：
看到红色方框那里了嚒，它们都是2阶的，所以才能够运算，只不过我们一般不写出来而已。
至于你这一题错误在于，你按照无穷小等价，然后通分，完整展开它的本质：
它分母肯定是2阶的，而分子你不管再如何去处理，正如我红色方框所示，o（x）一阶肯定是跑不掉的了，所以精确度不一样，当然不能运算。
关于无穷小替换精确度的详细讲解可看我B站视频或者知乎的这篇文章
【01期上集】高数疑难模块-无穷小替换的精确度问题（干货十足）_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?www.bilibili.com
杨家酱：在求极限（尤其涉及加减）时，无穷小替换的精确度问题?zhuanlan.zhihu.com
关于复合式子的麦克劳林展开式如何写，可看这里
【01期下集】高数疑难模块-麦克劳林的终极用法_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili?www.bilibili.com
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