（原题为： ）

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一、这可能是最简单做法

这个问题做法不少，但最简单的莫过于直接利用如下定理，聪明的读者将会发现，这个引理与Lebesgue控制收敛定理（dominated convergence theorem）极其相似，事实上，这几乎就是它的离散型版本。这定理是说：

设 对每一个 都收敛，即 且有界，即 其中 与 无关。若 收敛，则

这个定理的价值在于，允许在一定条件下交换求和与取极限的次序。如果利用它来求解当前问题，则只需命 容易验证定理适用条件均已齐备：

于是依定理即得

二、另外一种门槛更低的做法

这里我补充一种门槛更低的做法，只需要用到序列上、下极限的一些最基本的知识。

置

首先，选定某个 并让 这就将有

命 中的 就有

显然 对一切 成立，于是命其中的 就有

另一方面，依常见不等式 可以导出 如此就有 命 中的 也应成立

综合 就是

这清楚地表明了

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丢个链接就跑

https://www.zhihu.com/question/329635297

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很久很久以前写的一个分段估阶法(注解部分因为转pdf结果它少个负号)

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可以尝试转化为黎曼积分

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以前见过这题。我当时的做法比较粗糙，但是也猜到了答案(因为是写成级数展开式的，所以我花了一段时间才意识到是e/(e-1)的级数展开式)。

这是答案。。。（好啰嗦。。。）

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至于 ，我姿势不够，做不出。

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