請教一道級數問題如何做?
(原題為: )
一、這可能是最簡單做法
這個問題做法不少,但最簡單的莫過於直接利用如下定理,聰明的讀者將會發現,這個引理與Lebesgue控制收斂定理(dominated convergence theorem)極其相似,事實上,這幾乎就是它的離散型版本。這定理是說:
設 對每一個 都收斂,即 且有界,即 其中 與 無關。若 收斂,則
這個定理的價值在於,允許在一定條件下交換求和與取極限的次序。如果利用它來求解當前問題,則只需命 容易驗證定理適用條件均已齊備:
於是依定理即得
二、另外一種門檻更低的做法
這裡我補充一種門檻更低的做法,只需要用到序列上、下極限的一些最基本的知識。
置
首先,選定某個 並讓 這就將有
命 中的 就有
顯然 對一切 成立,於是命其中的 就有
另一方面,依常見不等式 可以導出 如此就有 命 中的 也應成立
綜合 就是
這清楚地表明瞭
丟個鏈接就跑
https://www.zhihu.com/question/329635297
很久很久以前寫的一個分段估階法(註解部分因為轉pdf結果它少個負號)