公理是如何确认的？
我们学习一门学科往往给出公理然后进行各种逻辑推导。那么公理究竟是如何确认的？确认公理的过程是怎样的？为什么把这些命题当成公理而不是其他命题？
我觉得公理是归纳出来的。
我的意思是说，理论家在把一系列相关的（数学）定理、（物理）定律梳理总结为一套体系的时候，就会把几条命题放在逻辑推导的起点，于是这几条命题就成为这套理论的（数学）公理、（物理）公设。如果理论家所建立的理论体系比较成功，那么所规定的公理、公设就为大家所接受。
公理不需要被确认。
我们学习一门学科往往给出公理这句话是不严谨的。公理是数学概念。科学的概念是定律。
对没有系统学习过高等数学的人来说，公理是符合直觉的，被广泛接受为真的命题。这种思想是朴素的数学思想。事实上，公理不需要符合直觉，也不需要被广泛接受为真。公理是在公理化系统下的基本假设，公理化是一种方法论，你可以有其他的方法论，在你的方法论里完全可以不需要公理。
数学最开始是作为解释世界的一种科学存在的，比如数字 1，2，3等，我们是为了解释一个苹果，两个香蕉这种数量概念而存在的。但数学不断发展之后，解释世界已经不在是数学的目的，数学只追求解释自己。解释世界会局限于我们观察世界的技术手段，而数学的发展只取决于人的思维能力。在毕达哥拉斯时代，人们的技术手段可以观察到一个苹果，两个苹果，半个苹果，1/7个苹果，但永远不知道边长为一的正方形的对角线长度是多少。即使是现在，大部分人也无法理解为什么会有一个数的平方是-1。但这并不妨碍数学上无理数和虚数的出现。到了这一步时，数学已经不需要有客观存在的现象与之对应了。
公理化方法不是一开始就有的，我们总喜欢讨论的欧式几何公理体系只是两千多年前的朴素思想。人们喜欢讨论将平行线公理替换掉之后形成的各种非欧几何，喜欢将黎曼几何与广义相对论结合起来侃侃而谈。但是请注意并不是广义相对论证明了黎曼几何的正确性。黎曼几何自身已经是自洽的，广义相对论只是利用黎曼几何去描述了爱因斯坦眼中的物理世界。也许有一天物理学家们证明了广义相对论是错误的，但作为工具的黎曼几何的公理体系，是没有错误的。
公理化方法的发展方向，就是将数学和物理世界剥离开来。我之前提到的自然数的概念，现在有皮亚诺公理体系，我们定义1234时不在需要苹果香蕉梨这种实物。实数公理系统，也不需要靠边长为一正方形的对角线来定义无理数。
回到问题上来，公理是如何确认的？公理不需要确认，你只管提出就行了，唯一值得在意的是你提出的公理体系是否有趣。
可能题主认为的公理是「显然无需证明的结论」，但实际上不一定。「显然」只是公理追求的目标，但并不是硬性规定。
公理真正的要求是任何公理都不能被其它公理证明或推翻。满足这一点足矣。
至于一个已经被证明是无法被已有公理证明或推翻的结论要不要拿来做新的公理，如果大家认为它是「显然的」，就可以做新的公理。你也可以把它的反面拿来做公理，也许得不到有价值的结论，但至少还是个合法的公理系统。可能大家不用罢了。
有的公理要不要承认是有争议的，比如选择公理。于是很多定理都需要指出它是不是依赖选择公理。
我们约定的，共同探讨的基础和前提。
[gōng lǐ]
公理
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公理是一个汉语辞汇，读音为gōng lǐ，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。（公理究竟是如何确认的？）
在数学中，公理这一词被用于两种相关但相异的意思之下——逻辑公理和非逻辑公理。在这两种意义之下，公理都是用来推导其他命题的起点。（为什么把这些命题当成公理而不是其他命题？公理已经是不需证明的东西，不再成为命题，只作为命题的起点）和定理不同，一个公理（除非有冗余的）不能被其他公理推导出来，否则它就不是起点本身，而是能够从起点得出的某种结果—可以干脆被归为定理了。至于公理的过程，无非反复思考实践验证。
而公理何以不可动摇，参考康德纯粹理性批判。
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