也就是說，我們雖然建立不了兩個群中元素之間的一一對應，但是起碼我們建立了已知群的一個子集合和未知群中的一個元素之間的一一對應，我們對未知群了解的多少取決於這種刻畫的精度，也就是取決於同態核的大小。這樣我們對未知群的結構多少就有了一些了解。

謝邀。

你可以定義一個二進位自然數到十進位自然數的映射，叫做「把一個數映到它自己」；然後這個映射是個（半環）同構，它保持加法保持乘法——意思是兩個數在二進位下怎麼加，在十進位下還是怎麼加，加出來的結果還是能相互對應；還是個雙射。然後你就相信了，二進位自然數和十進位自然數其實是同一個東西，這個世界上只有一種自然數，進位的不同並不會改變自然數半環本身的加法乘法結構以及序結構等等；但是一個小學生可能很難理解，他會覺得，二進位和十進位看起來如此不同，怎麼能把他們看成同一個對象？

所以同構起到的就是這麼個作用，它抓取一個數學對象最本質的信息（比如上面例子里的加法和乘法結構），而忽略其他沒那麼重要的信息（比如進位），然後把具有相同「本質信息」的對象視為一體。「同構」或者更一般地，「取等價類」這種思想觀念其實在你學抽象代數之前早就有了。比如「三個蘋果」和「三個香蕉」在只考慮數目的情況下「同構」，他們幫助你給出了3這個抽象的數學概念。再比如兩個全等的三角形可以被視為一體，但是他們被擺放的位置明明不同，但是你知道，在很多情況下，位置的信息並不重要，重要的是三角形本身的幾何信息，比如邊長、內角等等。

至於同態，那比同構的含義更廣一些。它是在兩個本質不一定相同的數學對象之間建立聯繫；比如自然數半環包含進實數域的那個包含映射，就是一個（單的）半環同態，它告訴你自然數可以視為實數這個更大的結構的一部分——而不是說自然數和實數是一回事。所以同態相當於是兩個數學對象之間的「紐帶」。

舉個例子。。

第一個群是{一，二，三。。}，其中定義了一個運算叫「加法」。。

第二個群是{one,two three...}，其中定義了一個運算叫「plus」。。

你說這倆群是不是同構？實際上是不是同一個群？

保持運算的映射，說白了就是你知道「加法」和「plus」同一個運算，「一」和「one」是同一個東西。。

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同態不太容易直觀解釋，實際上是一個商群加上同構，大致可以當成把一個大的群按某種主要結構縮小，把子結構忽略，在同態映射中就把好幾個處於同一子結構中的元素映射為目標群的一個群元素，同態映射保持乘法運算，就是說的那個主要結構保留。

抽象的來說，其實同態就是按照事物的本質來比較它們。

比如我有兩袋完全一樣的乒乓球要比較，我們比較的方式就是分別數有多少個，這其實就是在兩袋球之間構建了一個對應，由於球都是一樣的，所以這個對應可以很簡單。

接下來換成兩袋水果，每袋裡面都有蘋果和草莓。我們在比較的時候，肯定是要求蘋果對應蘋果，草莓對應草莓。

再變成兒子和父母比較，我們說兩個人像，一定是鼻子對應鼻子，眼睛對應眼睛。

這幾個例子是在說明同態不是簡單的映射，它要體現這兩個事物的內在關係，用數學的語言說，它要保持兩個代數對象之間的代數結構。對於加法同態而言，也就是f(x+y)=f(x)+f(y)。

那麼剛剛提到，這是一個比較，其實也就是看兩個代數結構區別有多大，用來刻畫這種區別的東西就是kernel和cokernel，理解了這一點就不難理解同構第一定理。

最後，兩個代數對象可能有多種代數結構，有時候它們之間有一種結構是同構的，但另一種可能不是。比如對於兩個A模M和N，同時它們還有H模結構，這時候它們間有一個A模同構，但是這個同構可能不是H模同態。