很多無理數都可以用連分數的形式表示出來。

連分數，就是形如：

的數。

通常，我們將其記作：

舉個例子，根號5就可以表示成：

記作：

如下是證明：首先注意到

所以

帶入無數次，我們就得到了

所以

同理，我們可以求出

The proof is trivial，讀者自證不難

其實，連分數的是有幾何意義的。考慮一條直線：f(x)=αx，其中α是我們需要用連分數表達的數，那麼我們發現，我們總是可以找到一些點，使得這些點和原點的連線所在的直線的斜率，越來越接近f(x)的斜率，也就是α。而這些點，如果我們將其看成二維向量，並且將其規定為β(-2),β(-1),β(0),β(1).......β(n），且規定β(-2)=(1, 0), β(-1)=(0, 1), 而β(n)=β(n-1)+k*β(n-2），其中k是一個滿足使點β(n-1)+k*β(n-2）與點β(n-1)+(k+1)β(n-2）的連線與f(x)有交點的整數值。那麼，這個連分數就可以表示為

其中，k(i)為使得β(i-1)+kβ(i-2)成立的整數k的值。

這個證明起來有點麻煩，讀者可以自己試一試(Hint：考慮每個向量代表的點到f(x)的距離）。注意，用這個方法，不止是無理數，任何有理數也可以被如此表示出來，步驟如下：

這個方法的證明，在證明上面的連分數幾何意義時，會自然而然的想到

最後留一道習題：

需要微積分，有點難度

有不可描述數存在，所以註定不行。

絕大多數都不可以，只要你承認集合論里的基數理論。

這是個悲劇。

無理數集是不可數的。所以你不能找到一串符號或形式把無理數列出來。

你以為你寫出來的π啊e啊√2啊這些都是什麼玩意？

數字本質上就不是那一串十進位數碼，而是一些能參與四則運算、能比較大小的對象。只要你能通過恰當的定義，讓你描述的東西能參與運算、能比較大小，那麼你就刻畫了一個數。

而十進位小數只是其中的刻畫方法之一罷了。

我覺得可以試試用不同的進位

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