覀兡米咭活w沙粒，那么还是有一堆；如果我们再拿走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一次拿走一颗沙粒，那么当我们们取得只剩下一颗沙粒，那么它还是一堆吗？

堆指的难道不是形状吗，即使同样是1000000颗沙粒，如果是平铺在地面上的，就不能称为一堆。

这就是经典集合论无法解决的「模糊性」的问题，需要用 模糊集合论 （创始人是UCBerkeley的 Zadeh）来解释。

（若有兴趣，可以参考：罗承忠著《模糊集引论》），下面我简单地介绍一下。

经典集合论中，对于元素x和集合A，元素的隶属度函数

[公式]

也就是说，元素 [公式]要么属于A（即 [公式] ），要么不属于A（即 [公式] ）。

但是，在模糊集合论中，隶属度函数

[公式]

也就是说，元素x可以以A(x)的程度属于A，在这样的定义下，A是一个模糊集。

（它有一套严谨的定义，更详细的内容可以参考之前提到的书）

回到沙堆问题，在论域U， [公式] 代表特定数量m的沙子，A代表沙堆集合。

如果在经典集合论中， [公式] 要么是沙堆，要么不是沙堆，需要有一个明确的界限，m满足怎样条件时候(例如m&>1000)，它就是沙堆( [公式] )，否则它就不是沙堆（ [公式] ）.

而在模糊集合论中,举个例子，我可以定义，

[公式],

[公式]，

[公式]

这样，小于等于100粒沙子，我们认为它不是沙堆，100至1000时，我们认为一定程度上是沙堆，

而大于等于1000时，我们认为它就是沙堆，可以很好地解释这个沙堆问题。

若干年前，学界里有一些人并不承认以模糊集合论为基础的模糊数学，认为它是伪科学。但是，它在控制论等领域的效果，很大程度上超过了以经典集合论为基础的控制方法，于是它也逐渐地被学界承认，在人工智慧等领域有很多应用。（尽管它一直挺小众，似乎不温不火的）

在很多时候，模糊数学、模糊性，是和人的认知是相契合的。

例如，若你有一捧沙子，问一个人，这是不是一堆沙子，他可能会回答：「可能是吧」；若你有更多的一大捧沙子，问一个人，这是不是一堆沙子，他可能会回答：「很可能是」；如你有一小把沙子，问一个人，这是不是一堆沙子，他可能会回答：「应该不是吧」。

从他的回答中，我们可以看出来他对一堆沙子是有概念的，但是很多时候人们没有办法精准地表达出来，而是只能给出一个大致的描述，这就是模糊性。

沙堆悖论的出现，是因为「堆」的表达方式是模糊的，没有准确的边界，使得概念模糊不清，缺少清晰的界限。


你掉头发吗？别担心，你永远不会秃头，逻辑上不可能。不相信？那请仔细看：假设你今天有满头头发，可是每一秒就掉一根，从什么时候算起你将是秃头呢？哪一根头发将是关键性的，在那之后你就算秃头？任何一根都不是。谁要是满头的头发，那就是满头的头发，即使掉了一根，也不会改变这个事实。一根头发不能决定你是不是秃头，这个规则可以一直适用下去，包括在第一根头发掉落后，与第二根头发掉落之前。所以你可以一直掉任意多根的头发，而且永远都不会秃头——就算你头上一根头发也不剩也是一样。你放心了吗？大概不会。但是这个推论错在哪里呢？


古代哲学就已经提出了这种沙堆悖论（Sorites-Paradox：Sorites 是古希腊文，意思是「堆」），当时的问题是：几粒沙子算是一堆？或者，我能从一堆沙里取走多少粒，让那堆沙子不再算是一堆？


这种悖论之所以会出现，是因为「堆」与「秃头」等表达方式是模糊的，没有准确的边界；如果我们可以设想出临界的情况，让这个概念仿佛可以适用又好像不可以，就构成模糊不清。模糊不清不只在哲学里算是个大问题，在法律、医学或运动领域里，同样都构成问题，事实上任何有流动的过渡状态都成问题。什么叫「过度」消费？什么时候胚胎不再是胚胎，而是一个「人」？什么行为算是「重大过失」？需要满足什么条件，一个人才算是「无判断能力」？这全都是非常困难但至关重要的问题。所以模糊不清不只是哲学框框内的玻璃珠游戏，而是真正的问题，在社会的各个领域中层出不穷。


沙堆悖论该如何解决？

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定义问题。

【堆】没有描述式定义，只有列举式定义。

即：我们不能严格地说【什么什么样的沙子是沙堆】，只能说【这是沙堆，那是沙堆，那也是沙堆……】

列举式定义没有严格边界，而没有严格边界的概念都会引发这种【慢增长越界式】悖论。

4粒沙子就能组成一堆。

三粒在下，一粒在上。

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