于是，数学家们也对这种「可以四则运算」的结构产生了兴趣，将其命名为——域。

并给出了定义：

（以下内容不需要背的，大家不要逃跑啊啊啊啊啊）

域：如果一个集合上定义了两个二元运算，+和 (姑且叫加法和乘法，其实叫什么、用什么符号都无所谓，重点是下面这些公理)，并且这两个运算满足以下这些公理，那么这个集合和这两个运算就构成了一个域。

1、加法满足结合律：

2、存在一个0，使得任何数加0都还是那个数本身：

3、每一个数都有个「相反数」，任何数加上它的相反数都等于0：

4、加法满足交换律：

5、乘法满足结合律：

6、乘法对加法有左分配律：

7、乘法对加法有右分配律：

8、我们有一个1，使得任何数乘1都还是那个数本身：

9、除0以外，每一个数都有个「倒数」，任何数乘上它的倒数都等于1：

10、乘法满足交换律：

任何满足这10个条件的（通俗的讲就是可以进行四则运算的）代数结构都是域！有理数域、实数域、复数域、分式域……都是域！

当然，也有些结构不是域（也就是不能做四则运算）。比如——向量。

向量不能做除法的。

但是除了域以外，数学家还抽象出了很多其它的代数结构。比如说群、交换群、环、域、线性空间…它们都是从数学中一些「很常见的事物」中抽象出来的结构。

另外，题主对极限的四则运算也很感兴趣。但是，这不是极限本身可以四则运算，而是极限这种操作「可以维持四则运算」。它本身不是代数结构，是一个映射，而且是可以维持一定代数结构的映射。

这种可以维持代数结构运算的映射叫做——同态，我后文也简单介绍一下。

二、群、交换群、环、域、线性空间

1、群

首先，介绍一个很常见、很基本的代数结构，叫做群。

四则运算很常见，但是，你解方程的时候，一定用过一种更常见的概念！

叫做——移项变号！

没错，这是一种超越四则运算的存在！

不但四则运算可以进行移项变号。通俗上说，数学中的很多东西，你都可以把它移动到等式的另一边去，然后变成与之相应的「逆」的形式。

比如，行列式不为0的矩阵都有逆矩阵，于是可以这样：

再比如，有些函数是可逆的，于是你可以这样搞：

再比如，积分和求导互为逆运算，于是：

我们对这种「可以移项变号解方程」的结构很感兴趣，于是抽象出来了一种结构——群。

行列式不为0的矩阵们，在矩阵乘法下，就构成了一个群。

当可逆函数作用于变数的时候，这些可逆函数也可以构成群，它们作用于变数的关系可以是一种群作用。

现在给出群的定义：如果一个集合G上定义了两个二元运算☆，那么并且这个运算满足以下三条公理，那么它们就构成了一个群。

1、结合律：对于G中任意三个元素a, b, c，都有：a ☆ (b ☆ c) = (a ☆ b) ☆ c

2、单位元：G中存在一个单位元1，对于G中的任意元素a，都有a☆1 = 1☆a = a

3、逆元：对于G中的任意元素a，都存在一个a的逆元 ，使得

群的一个很重要性质就是——你可以用「移项变号」法来解方程。

比如，如果a，b，x在同一个群里的话，那么 a☆x = b中，x有唯一解：x = ☆b

当然群还有很多性质，群论也是个博大精深的学科。而且因为群只有3条限制，世界上的群也是多种多样的。不过听教授说，最近人类完成了一个伟大的任务——有限单群分类。有限单群就像群世界里的「原子」，每一个有限群都是由一个或多个有限单群按照一定顺序合成的。这样的话，有限单群分类就好比群论中的「元素周期表」。有限单群分类这项工作非常的浩大，是很多很多数学家通过无数的论文堆积而成。

2、交换群（阿贝尔群）

四则运算很常见，但是其中最常见的，还是加法(+)、减法(-)这两种运算啊！

对加减法的抽象，便形成了交换群（阿贝尔群）。

顾名思义，交换群就是有交换律的群，交换群定义如下：

如果一个集合G上定义了两个二元运算☆，那么并且这个运算满足以下条件，那么它们就构成了一个群。

1、(G, ☆)是个群。

2、交换律：对于G中任意两个元素a, b，都有 a ☆ b = b ☆ a。

你看，如果把这里的☆ 当做加号（+），把逆元当做「相反数」，用负号表示。这样交换群的定义其实就可以看做是4条对加法的描述：

1、加法满足结合律：

2、存在一个0，使得任何数加0都还是那个数本身：

3、每一个数都有个「相反数」，任何数加上它的相反数都等于0：

4、加法满足交换律：

因为我们有逆元的概念，所以减法也可以定义了：a - b = a + (-b)。

交换群的例子太多了：整数加法群、有理数加法群、实数加法群、向量、剩余类……

3、环

有了加法(+)和减法(-)，我们再加上乘法()，就是一个环。

在之前的结构中，我们其实都定义有一种运算符「+」。但是因为我们想要乘法，所以定义环的时候我们需要两个运算符「+」和「」。

环：如果一个集合上定义了两个二元运算，+和 ，并且这两个运算满足以下这些公理，那么这个集合和这两个运算就构成了一个环。

1、加法满足结合律：

2、存在一个0，使得任何数加0都还是那个数本身：

3、每一个数都有个「相反数」，任何数加上它的相反数都等于0：

4、加法满足交换律：

5、乘法满足结合律：

6、乘法对加法有左分配律：

7、乘法对加法有右分配律：

*8、我们有一个1，使得任何数乘1都还是那个数本身：

举一个简单的例子：整数在加法和乘法下就是一个环。

再举一个有趣的例子：多项式环。

多项式，就是形如 这样的式子。

比如： 、 。

一件有趣的事情是：因为环可以支持加、减、乘，所以任何一个环上我们都可以有多项式，而这个环上的多项式还是一个环。

4、域

对加、减、乘、除四则运算的抽象就是域。前面提过了，不多说了。

域的定义就是环的定义后面再加上两条：

9、除0以外，每一个数都有个「倒数」，任何数乘上它的倒数都等于1：

10、乘法满足交换律：

（满足9的环叫做除环，满足10的环叫做交换环，9和10都满足就是域了）

域的例子：有理数域、实数域、复数域、分式域……

分式域和刚才的多项式环是一个道理：任何一个域上都有分式，而且这些分式又构成了一个新的域。

5、线性空间（向量空间）

这个代数结构和刚才的不太一样，因为这个线性空间是需要构筑在一个域之上的。

如果我们现在有一个域F，那么，F上的线性空间是这样定义的：

如果集合V如果满足以下条件，那么V是一个线性空间：

1、V上有一个加法运算（+），使得（V, +）是一个交换群。

2、存在一个数乘运算（·），这个数乘运算第一个变数是F中的元素，第二个变数是V中的元素，然后运算结果还是V中的元素（数学语言写作 ），满足：

（a）对V上加法的分配律：对于任意a属于F，v, w属于V，有a·(v+w)=av+aw

（b）对F上加法的分配律：对于任意a, b属于F，v属于V，有(a+b)·v = av+bv

（c）若是F中的乘法单位元，则对于任意 v属于V，有 ·v=v

（d）对于任意a, b属于F，v属于V，有(a×b)·v = a·(b·v)

一个最经典的例子就是向量，也就是把定义中的F换成实数域R，把V换成 。

当然多项式、函数，也都可以组成线性空间。

如果线性空间中还可以再定义一个 的运算，使得运算满足一定条件的话，这个向量空间还可以成为一个内积空间。这里就不仔细说了。

大学里有一门课叫做线性代数，其实就是在讲线性空间、线性映射(下文提到)、内积空间。

有些线性代数书上只讨论实数域上的向量，也就是直接用实数域R作为F， 作为V。

不过代数结构的魅力在于：所有满足这个代数结构条件的系统，都具有这个结构的性质！

也就是说，虽然有些线性代数课上只教了实数域上的向量，但课上的很多知识放到复数域，甚至多项式和函数构成的线性空间上也是适用的！

三、同态

题主提到了两种事物可以加减乘除，一种是「复数可以加减乘除」，另一种是「极限可以加减乘除」。

但这两个概念是不同的！

「复数可以加减乘除」指的是复数本身可以加减乘除，也就是我们上文讲述的——复数上能定义一个域。

但「极限可以加减乘除」，又是另外一个故事了。

「极限可以加减乘除」指的是——极限这种「操作」可以保留原有代数结构上的加减乘除。

首先，函数是可以加减乘除的。

假设x, y,是关于t的函数。

一定条件下，极限可以保留原有的加减乘除的：

当然，别忘了函数也是线性空间。极限还有一个很好的性质，就是它还能保持数乘运算：

（a是常数）

也就是说，极限这个操作可以向你保证：「无论你是先做四则运算或是数乘再取极限，还是先取极限再做四则运算或数乘，结果都是一样的！」

积分和微分呢，它们就相对弱一些，但还是有很好的性质的，它们能保留加减法和数乘。

（a是常数）

（a是常数）

其实，能保留原有代数结构上运算的映射，叫做同态。

能够保留群的映射，叫群同态。

能够保留环的映射，叫环同态。

能够保留域的映射，叫域同态。

能够保留线性空间的映射，叫线性映射。

所以，我们有：

微分是从可微函数到可积函数的线性映射。

积分从可积函数到可微函数的线性映射。

(这个可积暂时指黎曼可积)

然而，极限这个操作可以更厉害一些：

极限可以既可以是线性映射，也可以是环同态，甚至可以是域同态！

比如说，所有的连续函数可以形成一个线性空间。这样，极限就是这个线性空间到实数的一个线性映射。

(映射到实数上线性映射也叫做线性泛函)

当然，连续函数也能构成一个环。那么，极限也是一个由这个环映射到实数的环同态。

如果能找到一些函数构成一个域的话，极限也会成为一个由这个域到实数的域同态。

（可能说的有疏漏，请大佬指正。查到了一个相关帖子，大佬们可以看：https://math.stackexchange.com/questions/3530539/is-taking-a-limit-a-function-is-it-a-procedure-a-ternary-operation）

然而关于这些同态的学问就更多更多了……讲不完的。

最后，总结一下。

事实上，某种意义上讲，「四则运算的运用广泛」早已被人类意识到了。

至于为什么它们这么广泛？一个简单的回答或许是：「这四种运算最简单、基础、符合逻辑规律、人类直觉。」

但是，人们不能止步于此。人类数学家也确实将这四则运算单独提取出来，抽象成域论，并发展出了大量的数学理论去研究域。

不仅如此，数学中很多「广泛出现的事物」往往都会被数学家们提取出来，加以仔细地研究。

也就是说，提取并研究「广泛出现的事物」本来就是数学发展的方法之一。

所以，这个问题，最简单的回答或许是「四则运算基础、简单」。

但是最复杂的回答，是完全可以把整个现有的域论以及很多未知的谜题全都抛出来的。

希望在阅读的同时可以点赞支持，可以直接 [双击这里] 。

四则运算确实是一种很常见的运算，但有的四则运算是需要证明的，而不能「觉得对就用」。

作为一个学数学的大一萌新，在这里就自己的理解，简单地写一下。

如果只想看结论不想看过程的话，可以直接划掉证明过程。

一、极限

极限其实并不能算是一个「实数」，甚至不能算是一种元素，而是一种运算。

在这里说极限满足四则运算，其实不同于说实数可以加减乘除。

首先我们有极限的定义：

定义（极限） 设数列 满足：存在实数 ，使得对任意 ，都存在正整数 ，当 时， ，则记 ，读作实数 是数列 的极限。

根据定义，极限自然不能视作常数，在分析课程中给出了对极限的四则运算的证明：

假设数列 和 极限均存在， ， ，则

性质1.1（加法） 。

证明 由绝对值不等式

根据极限定义，对任意的 ，总存在正整数 ，当 时， ；同时存在正整数 ，当 时， ；取 ，则当 时，有

根据极限定义知 。

同理可以得到以下性质，证明省略：

性质1.2（减法） 。

性质1.3（线性运算） 对实数 ， ， 。

类似地，对乘法，可以证明：

性质2.1（乘法） 。

证明 根据绝对值不等式

可以证明数列极限存在必有界，在此处省略，假设 。对任意的 ，总存在正整数 ，当 时， ；同时存在正整数 ，当 时， ；取 ，则当 时，有

根据极限定义知 。

同理可以得到除法的情况，证明同样省略：

性质2.2（除法） 。

二、不能完全四则运算的例子：积分

开头有写过，四则运算不能「觉得对就用」，在这里给出积分的例子。

假设函数 与 在区间 上Riemann可积，则有

性质1.1（加法） 。

性质1.2（减法） 。

更一般地，有

性质1.3（线性运算） 对实数 ， ，

证明根据Riemann积分的定义容易得到，在这里省略。

但是否有 成立？

我们考虑令 ， ，则根据 和 知此时上式不成立，也即Riemann积分的乘法不成立。

类似地，对两个函数的乘积求导的话， 。

三、向量的运算

先丢出一个定义：

定义（向量空间，或称线性空间） 设 是一个非空集合， 是一个域，在 和 上定义了两种运算：加法（记作「 」）和乘法（记作「 」），其运算的结果仍是 中的元素。设 ， ， ， ， ，有

性质1（加法交换律） 。

性质2（加法结合律） 。

性质3（零元素） 存在 ，使得

性质4（加法逆元素） 存在 ，使得 。

性质5（乘法结合律） 。

性质6（幺元素）存在 ，使得 。

性质7（乘法分配律1） 。

性质8（乘法分配律2） 。

则称 为域 上的向量空间，或称线性空间。

容易发现，我们原来所用的「向量」是满足上面的八条性质的，当然满足这样的性质的元素不仅仅是向量，还有多项式、矩阵等等，甚至还可以重新定义「加法」和「乘法」，同样让一个集合成为线性空间。

由此看来，满足这种运算规律的事物是很多的，线性空间也被普遍应用。

但是向量与向量之间的乘法、除法较为麻烦，目前定义出了内积（ ）外积（ ），并且普遍认为向量没有除法的概念（当然也可以人为定义）。

就扯这么多啦，欢迎大家继续补充。

有一说一，如果题主学了一点抽象代数，你可以随意弄出一套不同的数学体系，这套数学体系里面的运算不一定是加减乘除，运算的内容也不一定是数字、向量或矩阵这些我们平时很常见的东西。

比如说，你可以把 维线性空间中所有可逆线性变换作为一个集合，在里面定义一种运算，即：映射的合成，那么它就构成一个群，有运算封闭、结合律等等一大堆我们很熟悉的性质。

但是为什么加减乘除运用这么广泛呢？主要还是因为我们对于 或 上的东西比较熟悉，况且还有同构这样的大杀器，许多看上去极其复杂的群都可以通过同构找到一些 或 的子群与之对应。

例如 维线性空间中所有可逆线性变换关于映射的合成就与 同构，我们可以通过研究 的性质来研究线性变换的性质。

这是因为: 我们所在的世界的事物的增长和变化普遍具有可加性和守恒性。为了描述这两个性质，+ 法产生了。

加法产生后，很容易就找到了几个朋友，它们是减法、乘法、和除法。

至于复数、相量等任何我们所定义的数，它们都是为描述我们这个世界物质的量，同样满足可加性和守恒性，所以它们同样可以采用四则运算。

另外，我们生活的空间和时间，也恰好具有简单的线性特点，线性空间中量自然满足可加性和可乘性。因为我只生活在这样一个世界，所以也就想像不出不满足这个特点的世界是怎样的，也许存在呢？

但我仍然觉得，应该存在某些领域，可加性这个性质不存在，或不重要，那么四则运算就没有用武之地的。 比如说转魔方，不是用四则运算能方便研究的。

越底层的越广泛，不过强度也越低。

越高层的越狭隘，不过强度也越高。

加法，递归为乘法，递归为幂。分别求逆，得到减法与除法，以及对数与开方。这些是直线运算。

正弦，合减法为余弦，合除法为正切，分别合单位，得到正割、余割、余切。这些是曲线运算。

直线运算与曲线运算与极限融合，碰撞出无限广袤的数学之海。

加法与正弦是常规体系下最底层的运算，因此它们是最常用的。其他运算，根据把它们分解为加法与正弦所需要的步骤，可以定义它们的层数，层数越高越狭隘。

再加上现实世界大多是直线的，因此正弦比较少，所以表现为加法最广泛。

而减乘除幂之所以比较广泛，也是因为它们的层数比较低，都不超过三层。而相比之下，对数是四层，因此对数用的就比较少了（相对五则运算而言比较少。不过依然很多）

对了，不应该叫四则运算，而应该叫五则运算。幂运算应该有一席之地。