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解決基礎問題的思路在於回到定義. 這裡並沒有限制 [公式] ，那就應該把它當成實數. 實數次方是由有理次方的上確界來定義的（不然也無從計算）. 所以它其實隱含了有理次方的函數是遞增的，即若 [公式] ，則 [公式] ，也可以說 [公式] 當且僅當 [公式] 為同號整數，這樣就只需要證明 [公式] . 這一點由反證法很容易得到：如果 [公式] , 則 [公式] .

回到原來的問題， [公式] 的定義是 [公式] . 如果 [公式] , 則肯定存在小於 [公式] 的正有理數 [公式] （不存在則與上確界這一事實相違背），這時可以套用前述結論，得到 [公式] , 這時候就可以打出反人類的 Q.E.D 了.

如果上面的看不懂，沒關係，請看這一段. 題主想得到初等方法的證明，想必是默認只有中學知識也能看懂. 不過在中學裡，指數函數是沒有嚴格定義的，那自然也無法嚴格證明. 雖然次方的概念相當自然，但實數次方卻並非如此，中學水平並沒有辦法計算諸如 [公式] 的數. 近代數學對無理數的研究方法源自於逼近，如上述的取上確界（事實上，實數系就是通過這樣的方法由有理數擴展來的）. 所以上述證明的必要性是顯著的——並且沒有更加初等的證明.

指數函數的定義依賴於實數的定義，而實數的定義是非初等的，因此不能用初等的方法證明這個結論。

y=2^n單調性

畫出函數y=2^x的函數圖像，並證明其單調性

證明函數fx=2^x單調遞增設x1 x2，令x1&>x2，證明f（x1）&>f（x2）即可又f（0）=1，即對於所有x&>0，fx&>1

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