在知乎上，有一位名叫 @楚天阔tkchu 的同学，分享了他参加今年网易游戏策划笔试的经历。据他的描述，网易的游戏策划笔试，"数值卷部分的笔试题目非常优秀，覆盖面广且内容扎实"。他因临近结束时意识到即将失败，于是在最后五分钟放弃答题，强记了这些题目。链接如下：

zhuanlan.zhihu.com/p/44

由于各种原因，该同学没有再分享这些题目的解法，不得不说是一件非常遗憾的事。我在两天前看到了这些题目，非常感兴趣，所以花了一些时间用自己的想法解出了这些题目。在解题过程中，我感觉到自己的知识非常薄弱，绝无可能在考场上把这些题目全部答对，有些题目甚至必须借助EXCEL来解决，可以说是一件让我非常害怕的事了。

我现在将我自己的解法分享出来，但需要提前说明的是，我的概率论知识已经忘了很多，所以很多符号已经不知道怎么用了，解法也不一定正确。如有错漏，还望指正。

1 在某个抽卡游戏中，有两种抽卡模式：

1）十连抽，每次抽卡S卡的抽取概率为20%，如果前面9次都没有抽出S卡，那么第十次一定是S卡，否则第十次出S卡的概率仍然是20%。

2）单抽，每次抽卡S卡的抽取概率为20%，如果连续9次都没有抽出S卡，那么第十次一定是S卡，否则第十次出S卡的概率仍然是20%。问：这两种抽法，每次抽中S卡的期望概率分别是多少？

答

十连抽和单抽哪个更划算，也算是抽卡游戏的常见问题了。在百度中搜索「十连抽和单抽」，会出现以下结果，可见还是有很多玩家对这个问题非常感兴趣的。

那么十连抽和单抽的区别在哪里呢？一个重要的区别，就是十连抽有可能出现连续十八次不出S卡的情况，而单抽只有可能出现连续九次不出S卡的情况。由此可以得到一个直观的印象，即：单抽比十连抽要划算。

那么，这个印象是否正确呢？就需要精确的计算了。

如果是笔算的话，首先需要给出0.8^9=0.134，0.8^10=0.107，否则没法算。

1）十连抽

我们首先考虑没有保底的情况，十连抽能抽出多少张S卡呢？用i表示十连抽抽到S卡的张数，那么抽到i张S卡的概率Pi为：

P_{i}=p^{i}*(1-p)^{10-i}*C_{10}^{i}

那么十连抽抽到S卡的张数期望为：

E=sum_{i=0}^{10}{i*p^{i}*(1-p)^{10-i}*C_{10}^{i}}=sum_{i=0}^{10}{i*0.2^{i}*0.8^{10-i}*C_{10}^{i}}=0*0.8^9+sum_{i=1}^{10}{i*0.2^{i}*0.8^{10-i}*C_{10}^{i}}

这里把i=0的情况独立出来，因为下面要用到。

很显然，这里E=0.2*10=2，则

sum_{i=1}^{10}{i*0.2^{i}*0.8^{10-i}*C_{10}^{i}}=2

那么保底意味著什么呢？我们可以这样理解：当十连抽没有出S卡的情况下，强行让其中1张卡变成S卡。也就相当于当i=0时，强行让i=1，则上式变为：

E=1*0.8^{10}+sum_{i=1}^{10}{i*0.2^{i}*0.8^{10-i}*C_{10}^{i}}=2.107

也就是十张卡里期望出2.107张卡，故出S卡的期望概率为：2.107/10=21.07%。

用EXCEL验证，首先是不设计保底的情况（第三列为张数*概率）：

然后是设计保底的情况（强行把第一张的张数设置为1）：

与手算的结果一致。

2）单抽

同样，先考虑没有保底的情况。这里我们需要转换一下思路，用i表示连续i抽抽出1张S卡，则连续连续i抽抽出1张S卡的概率Pi为：

P_{i}=p*(1-p)^{i-1}

那么单抽抽到S卡的次数期望为：

E=sum_{i=1}^{infty}{i*p*(1-p)^{i-1}}=sum_{i=1}^{infty}{i*0.2*0.8^{i-1}}

当我们设置了保底第10抽必然抽中，则相当于给这个公式设置了一个截断点，在前九抽都没有抽中的情况下，第十抽一定能抽中。前九抽都没有抽中的概率为0.8^9，所以次数期望的计算公式变为：

E=sum_{i=1}^{9}{i*0.2*0.8^{i-1}}+10*0.8^{0.9}

式中，加号左边是一个等差乘等比数列，需要用到错位相减法，计算结果为3.12。加号右边等于10*0.134=1.34。（手算真是累）

计算结果为4.46，即期望4.46次抽到1张S卡，则期望概率为E=1/4.46=22.42%

用EXCEL验证，首先是不设计保底的情况：

仅计算了前20种情况，理论上期望应该无限接近5。

然后是设计保底的情况：

与手算的结果一致。

结语

这里我没有再用VBA验算一遍，一方面是因为我个人VBA用得并不十分熟练，另一方面也是比较自信，认为没有再验算的必要。

从结果来看，的确是单抽比十连更划算，符合很多玩家的一般印象。不过单抽相对来说操作更繁琐一些，而且有些游戏的十连抽是和单抽关联的，也就是实际上十连抽相当于十个单抽。所以这个结论是否适用，就是一个因人而异、因游戏而异的问题了。


推荐阅读：
相关文章