另外，需要補充的一點是：任何的線性變換，本質上都可以拆分成兩種最基本的變換的組合：

（1）旋轉

旋轉變換的一般形式為

其中， 為新基相對於自然基的逆時針旋轉角度（2）伸縮 伸縮變換的一般形式為 表示為相對橫軸方向拉伸（壓縮）了 倍，又相對縱軸方向拉伸（壓縮）了 倍

綜上所述，由於一個矩陣表示一種線性變換，而這種線性變換從幾何上可以看作是基的變換，由原先的自然基（笛卡爾坐標系）變成矩陣列向量所表示的基

例如，對於矩陣 ，其基的變換為：

而向量的存在是要以線性空間為載體的，其線性空間可以由其坐標基來確定，當其坐標基發生了改變，則其線性空間也就發生了改變，也就是說變換後它的載體發生了改變，則依附於載體而存在的向量被迫要跟著載體而發生改變

這就好比一團面，你在這團面上畫上一張笑臉，當你去拉伸或擠壓這團面時，畫在上面的笑臉也會發生相應的形變，向量好比就是那張笑臉，而向量空間（線性空間）就相當於那團承載笑臉的麵糰，

所以我們可以通過觀察基的改變來推斷矩陣實際所實施的變換是什麼，而任何矩陣變換都可以拆分成旋轉變換和伸縮變換的混合，因此，通過觀察基所進行的旋轉變換和伸縮變換，就可以直接推出該矩陣的幾何變換的本質

這麼說可能還是比較抽象，舉一個例子：

變換矩陣為

在笛卡爾坐標繫上有這麼一個圓

對這個圓實施該矩陣所表示的變換，會得到什麼樣的結果呢？

我們來按照上面的思路來分析一下：

首先來看基是怎麼變換的

可以簡單地畫一下圖：

可以看到，上面的這種幾何變換，實際上可以拆分成兩個基本變換的混合：

（1）先進行伸縮變換，在相對橫軸方向拉了 倍，又相對縱軸方向拉伸了 倍，其矩陣表示為

（2）接著進行旋轉變換，新基相對於自然基的逆時針旋轉角度為 或 ，其矩陣表示為

所以該矩陣的變換可以寫成：

既然已經知道這個矩陣進行的線性變換本質上就是先進行伸縮變換，在相對橫軸方向拉了 倍，又相對縱軸方向拉伸了 倍，然後接著進行旋轉變換，新基相對於自然基的逆時針旋轉角度為 或 ，所以我們就可以快速地推斷出變換後的圖形，如下：

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