其中一個問題折磨了數學家們多年，卻只取得零星的進展。在物理學界之外，很少有人聽說過量子霍爾電導問題（quantum Hall conductance problem），但它與量子技術的實際應用有著緊密關係。你可以想像，當一位名為Spyridon Michalakis的新人聲稱得到了答案時，人們作何期望。然而，他提出的這個「不可能問題」的解法本身就不可能被理解——或說，是差點不可能。

數學天才

Spyridon Michalakis 在希臘長大，他童年時的夏日時光在和兩兄弟的沙灘排球遊戲中度過。但是到了晚上，當兄弟們貼在屏幕前玩電子遊戲時，他卻在解數學難題。1994 年，當他的哥哥從全國數學競賽中鎩羽而歸後，14 歲的 Spyridon 卻解出了那份試卷上的問題。雖然他所花的三天時間遠超競賽規定的三小時，但在數學上他一向不輕言放棄。

獲得量子信息科學博士學位後，Michalakis 來到新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯國家實驗室，開啟他學術職業生涯。幾天後，他與新主管 Matthew Hastings 在一家壽司店共進午餐。Hastings 問：「你是想現在就做些有趣的工作，還是先熱熱身？」 Michalakis 說，他已經準備好迎接挑戰。

當天晚些時候，Hastings 給他發送了那個普林斯頓大學的復古網頁鏈接，並解釋說這些是由數學物理學家 Michael Aizenman 於 1998 年至 1999 年間收集的難題。Michalakis 看到，只有一個問題旁邊貼上了卡通爆炸圖案，儘管它只是被部分解決了。他隨後意識到，即便是這個部分的解決方案，也為兩位數學家分別贏得了 2006 年和 2010 年的菲爾茲獎章。

Hastings 想讓他嘗試的是量子霍爾電導問題，而 Michalakis 此前從未聽說過它。由於 Hastings 熱衷於讓他的下屬自力更生，放他們接下來幾個月自己與沮喪感搏鬥， Michalakis 被嚇壞了：「這就像對某人說：『你有成為好萊塢明星的潛質，放手去做就行。』」

分數量子霍爾效應

首先，Michalakis 必須弄清量子霍爾效應是什麼。物理學家埃德溫·霍爾（Edwin Hall）於 1879 年發現，當電流通過金屬片時，在垂直方向施加磁場，一小部分電流會發生偏轉。

霍爾的發現比電子被發現還要早 18 年。1980 年物理學家馮·克利青（Klaus von Klitzing）的重複實驗確證了這一效應，這次電流通過的是冷卻到接近絕對零度的金屬和半導體之間的薄界面。在這些條件下，電流是二維的，正如超薄石墨烯材料一樣，二維完全改變了它的性質。馮·克利青發現，如果緩慢增加磁場強度，偏轉的電流並不會像預期般穩定增長，而是發生階躍（current step）。

也就是說，電流表現得更像量子世界的粒子一樣，有特定的能級，只不過這是在日常生活中可見的量子行為。

更令人印象深刻的是，在不完美的實驗條件下也能得到相同的結果：使用含大量雜質的半導體得到的階躍與馮·克利青實驗中的完全一致。這引起了轟動，因為量子效應是出了名的挑剔，只在精心設計的實驗中出現。

1982 年，AT&T 貝爾實驗室的研究人員改進了這一實驗，這進一步加深了人們的興趣。他們在實驗中使用了更強的磁場和更低的溫度，發現在原來的能量階躍之間還有等分的新階躍。他們給這一新現象起了專屬的名字：分數量子霍爾效應（fractional quantum Hall effect）。

Michalakis 花了很長的時間來弄清楚，對於量子霍爾效應出現的原因，理論研究者們是怎樣開始研究的。他發現，關鍵點出現在 20 世紀 80 年代，當時物理學家 David Thouless 等人正著手繪製一幅涉及到拓撲學的量子霍爾效應全景圖。

拓撲學是對物體整體性質的數學研究，我們可以把它想像成在幾何學的基礎上簡化一步。拓撲學是研究不受細微改變影響的形狀性質的得力工具。例如，一個甜甜圈被壓扁後，它不再呈環形，但仍然是甜甜圈。

用數學方法來描述這類事物時會用到兩個性質：其一是「虧格」（genus），表示一個物體上有多少個洞；其二是「卷繞數」（winding number），表示一個物體環繞另一個物體的圈數。

擠壓一枚甜甜圈（或右側的小餅乾）會改變其幾何形狀，但洞的數量不變。在拓撲學中，這一性質被稱為「虧格」。

卷繞數描述的是一個物體環繞另一個物體的圈數，就像手指上纏繞的橡膠圈一樣。

Thouless 和合作者將量子霍爾效應中的電子視作連續的電子海，並用拓撲語言來描述它。這就解釋了馮·克利青觀察到的現象。就像擠壓甜甜圈一樣，如果你輕微改變電子路徑，類似於半導體中的雜質造成的效果，電子海的拓撲描述不會發生明顯變化。這就從數學上解釋了為什麼即使在實驗不精確的情況下，這種效應也精確發生了。結果還表明，卷繞數（只能是1或2這樣的整數）與階躍出現時的電壓在數學上有著緊密的聯繫。

平息電子海

但在表象之下，Thouless 的描述並不現實。根據量子理論，量子海中的電子可以儲存任意大小的能量，在觀察到階躍前，其中一些電子應該有足夠的能量使電導率上升。但這樣一來，描述電子的數學會非常複雜，所以 Thouless 人為地將能量漲落平均化，從而簡化計算。然而不幸的是，由於沒有充分的證據支持這種假設，問題仍然沒有得到解決。

這就是 Michalakis 面臨的沮喪處境。但是當他進一步探索這個問題時，突然靈光乍現。Hastings 找他來完成這項任務一定是有原因的。他開始仔細查閱 Hastings 的研究目錄，很快就找到了有希望解決問題的工具。

從那時起，Michalakis 的經驗缺乏變成了一種優勢，使他能夠繞過許多困住了專家的死路。在 Hastings 的引導下，他逐漸構建了對這個問題的全新認知模型。

Michalakis 和 Hastings 提出的解法關鍵在於，對問題中拓撲結構的理解更加精細。目前描述量子霍爾效應的最佳工具，是過去十年間發展起來的絕熱演化（adiabatic evolution）。它的目標是解釋當磁場改變時，量子海中的電子為什麼沒有足夠的能量瞬間躍上下一個台階，而是必須先到達台階底下。但這仍然需要像 Thouless 那樣將能量漲落平均化。

兩人使用的是一個被稱為「准絕熱演化」的改進版工具，與其前身不同的是，它本身是拓撲的。這使他們能夠看到量子海的整體能量景觀，並消除所有的峰和谷，因為拓撲結構不會受這些細節影響。

這聽起來像是作弊，但 Michalakis 相信，這為 Thouless 未能解決的問題提供了數學上的突破口。經過睡眠不足的 14 個月後，Michalakis 和 Hastings 完成了證明，並迅速發布到了網上。問題被解決了。

但問題真的解決了嗎？當他們試圖就此發表正式文章時，審稿人們卻無法理解它。「Hastings 和 Michalakis 的論文技巧性太強，」以色列海法理工學院的物理學家 Joseph Avron 說，「我無法從全部步驟中判斷整體證明是否成立。」 Avron 是 1999 年最初提議將這個問題添加到普林斯頓網站的人之一，因此他有權宣布它是否已被解決。

「很長一段時間裡，我可能是唯一相信他們的論證基本合理且完整的人，」 Michalakis 的前導師，加州大學戴維斯分校的 Bruno Nachtergaele 說。他認為兩人只是缺乏耐心寫出易懂的數學證明。因此，這篇論文被擱淺了三年有餘，因為它太重要以至於不能拒稿，但也太難理解以至於無法接收。

但這並沒有阻止其他人對這篇文章進行思考。論文完成 6 個月後，東京大學的數學物理學家 Yoshiko Ogata 邀請 Michalakis 解釋他的解法。Michalakis 用了整整 6 堂講座來解釋，但聽眾們仍然摸不著頭腦。

Hastings 和 Michalakis 於 2013 年最後一次梳理了這一證明，使其儘可能地緊湊和優雅。但改進後的論文仍未獲包括 Avron 在內的評審人的認可。他和兩人打了電話，但仍然無法弄懂證明中的數學。「當我提問時，我認為他們誤解了我的問題，我也誤解了他們的答案。」 Avron 說。在兩年多的時間裡，他不僅和兩人多次交談，還多次重讀了論文，並參加了他們的講座。最後，綜合他自己和其他專家對不同證明部分的理解，Avron 終於認可了該論文。

「已解決！」

論文最終在 2015 年得以發表，但是除非 Avron 能自己完全讀懂它，否則他還不會在普林斯頓網頁上把這個問題標記為「已解決」。好在不久之後，其他研究者用 Avron 能夠理解的數學語言發表了補充論文。一馬當先的是羅馬第三大學的 Alessandro Giuliani 等人，他們使用更傳統的數學工具來分析這個問題，為霍爾效應量子化提供了額外證據，同時也印證了 Michalakis 和 Hastings 在他們的工作中作出的關鍵假設。

不久，在問題被貼出的 19 年後，同時也是 Michalakis 和 Hastings 完成證明 10 年後，Avron 終於把這個問題標記為「已解決！」

不是所有人都同意這一問題已成定論。喬治亞理工學院的物理學家 Jean Bellissard 說：「他們證明了量子霍爾效應的拓撲性，但沒有證明電導是階躍變化的，存在平台。」但是 Michalakis 反駁了這點，而 Bellissard 也承認他們的工作是一項突破，是最終解法重要的一部分。

不管怎樣，這個證明有助於實現量子霍爾效應的實際應用。Hastings 現在就在微軟位於加州的量子計算實驗室「Q 站」工作，他正在試圖造出一種全新的量子計算機。

大多數量子計算機利用亞原子粒子可處於疊加態這一特性，使某些難以處理的計算變得容易。問題在於，基於粒子的量子比特十分脆弱，即使是最輕微的振動都能使之出錯。然而，有拓撲性的量子比特就像量子霍爾效應本身一樣穩定。Hastings 說：「微軟正在試圖開發一種新的量子比特：拓撲量子比特。」

微軟試圖製造的量子比特基於電子海中的微小缺陷：「任意子」。 Hastings 和 Michalakis 的證明啟發了它們的製造。

那麼他們有機會獲得菲爾茲獎嗎？這一數學界最高獎項 4 年一次，頒發給 4 位 40 歲以下的數學家。當他們最初發表證明時，Michalakis 29 歲，Hastings 則已 36 歲。由於科學界花了近十年才接受他們的證明，這意味著等 2022 年評選下一屆菲爾茲獎時，兩人都已失去資格。不過，這並沒有困擾到 Michalakis。他現在將研究與科學傳播相結合，比如成為電影《蟻人》的科學顧問。「我不再關心獲獎了，」他說，「對我來說，弄明白問題的真正樂趣在於與下一代人分享它。」

原文鏈接：

https://www.newscientist.com/article/mg24132160-400-the-baffling-quantum-maths-solution-it-took-10-years-to-understand/

論文鏈接：

https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00220-014-2167-x

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